Міри кутів п'ятикутника утворюють арифметичну прогресію. Доведи, що міра одного з цих кутів дорівнює 108∘. Склади подібні задачі для трикутника і семикутника.
Розв’язання
Обчислимо суму кутів п'ятикутника: (5−2)⋅180∘=3⋅180∘=540∘.
Оскільки кути утворюють арифметичну прогресію, сума цих кутів дорівнює n-му члену прогресії, помноженому на середнє арифметичне, або простіше: сума дорівнює 5⋅a3, де a3 — третій член (середній).
Знайдемо середній член: a3=5540∘=108∘. Отже, один з кутів дорівнює 108∘.
Для трикутника (n=3): сума кутів 180∘, середній член (другий) буде 3180∘=60∘. Задача: «Міри кутів трикутника утворюють арифметичну прогресію. Доведи, що один з кутів дорівнює 60∘».
Для семикутника (n=7): сума кутів (7−2)⋅180∘=900∘, середній член (четвертий) буде 7900∘≈128,57∘. Задача: «Міри кутів семикутника утворюють арифметичну прогресію. Доведи, що один з кутів дорівнює 7900∘».
Відповідь:
Доведено, що для п'ятикутника 108∘. Для трикутника — 60∘, для семикутника — 7900∘.
Міри кутів п'ятикутника утворюють арифметичну прогресію. Доведи, що міра одного з цих кутів дорівнює 108∘. Склади подібні задачі для трикутника і семикутника.
Що треба знати
Сума кутів многокутника з n вершинами обчислюється за формулою (n−2)⋅180∘. Для п'ятикутника сума дорівнює 540∘. Якщо кути утворюють арифметичну прогресію, то середній член прогресії (третій член для 5 кутів) дорівнює частці суми на кількість членів.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Знайди суму кутів п'ятикутника, розділи її на 5 і покажи, що це середній член прогресії, який дорівнює 108∘.
Розв’язання крок за кроком
Обчислимо суму кутів п'ятикутника: (5−2)⋅180∘=3⋅180∘=540∘.
Оскільки кути утворюють арифметичну прогресію, сума цих кутів дорівнює n-му члену прогресії, помноженому на середнє арифметичне, або простіше: сума дорівнює 5⋅a3, де a3 — третій член (середній).
Знайдемо середній член: a3=5540∘=108∘. Отже, один з кутів дорівнює 108∘.
Для трикутника (n=3): сума кутів 180∘, середній член (другий) буде 3180∘=60∘. Задача: «Міри кутів трикутника утворюють арифметичну прогресію. Доведи, що один з кутів дорівнює 60∘».
Для семикутника (n=7): сума кутів (7−2)⋅180∘=900∘, середній член (четвертий) буде 7900∘≈128,57∘. Задача: «Міри кутів семикутника утворюють арифметичну прогресію. Доведи, що один з кутів дорівнює 7900∘».
Відповідь:
Доведено, що для п'ятикутника 108∘. Для трикутника — 60∘, для семикутника — 7900∘.
