Завдання 900, § 16. Арифметична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 900

Знаходження суми перших 27 членів за відомими сумами частин

Сума перших 15 членів $S_{15} = 20$ . Сума перших 12 членів менша на 6, тобто $S_{12} = 20 - 6 = 14$ . Знайти суму перших 27 членів $S_{27}$ .

Розв’язання

Запишемо рівняння для $S_{12}$ : $\frac{12}{2} (2 a_{1} + 11 d) = 14 \Rightarrow 6 (2 a_{1} + 11 d) = 14 \Rightarrow 2 a_{1} + 11 d = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$ .
Запишемо рівняння для $S_{15}$ : $\frac{15}{2} (2 a_{1} + 14 d) = 20 \Rightarrow \frac{15}{2} \cdot 2 (a_{1} + 7 d) = 20 \Rightarrow 15 (a_{1} + 7 d) = 20 \Rightarrow a_{1} + 7 d = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ .
Маємо систему: ${2 a_{1} + 11 d = \frac{7}{3} a_{1} + 7 d = \frac{4}{3}$ . Помножимо друге рівняння на 2: $2 a_{1} + 14 d = \frac{8}{3}$ .
Віднімемо перше рівняння від зміненого другого: $(2 a_{1} + 14 d) - (2 a_{1} + 11 d) = \frac{8}{3} - \frac{7}{3} \Rightarrow 3 d = \frac{1}{3} \Rightarrow d = \frac{1}{9}$ .
Знайдемо $a_{1}$ з другого рівняння: $a_{1} + 7 \cdot \frac{1}{9} = \frac{4}{3} \Rightarrow a_{1} = \frac{4}{3} - \frac{7}{9} = \frac{12}{9} - \frac{7}{9} = \frac{5}{9}$ .
Обчислимо $S_{27}$ : $S_{27} = \frac{27}{2} (2 a_{1} + 26 d) = \frac{27}{2} (2 \cdot \frac{5}{9} + 26 \cdot \frac{1}{9}) = \frac{27}{2} (\frac{10}{9} + \frac{26}{9}) = \frac{27}{2} \cdot \frac{36}{9} = \frac{27}{2} \cdot 4 = 54$ .

Відповідь:

Сума перших 27 членів дорівнює 54.

Розбір зрозумілий?

§ 16. Арифметична прогресія Завдання 900 с. 173

Знаходження суми перших 27 членів за відомими сумами частин

Умова

Що треба знати

Сума перших $n$ членів арифметичної прогресії обчислюється за формулою $S_{n} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)$ . Також можна скористатися властивістю, що сума проміжних членів дорівнює добутку кількості таких членів на середній з них.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Скористайся формулою суми для двох випадків ( $n = 12$ і $n = 15$ ), щоб знайти $a_{1}$ та $d$ , а потім підстав ці значення у формулу для $n = 27$ .

Розв’язання крок за кроком

Запишемо рівняння для $S_{12}$ : $\frac{12}{2} (2 a_{1} + 11 d) = 14 \Rightarrow 6 (2 a_{1} + 11 d) = 14 \Rightarrow 2 a_{1} + 11 d = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$ .
Запишемо рівняння для $S_{15}$ : $\frac{15}{2} (2 a_{1} + 14 d) = 20 \Rightarrow \frac{15}{2} \cdot 2 (a_{1} + 7 d) = 20 \Rightarrow 15 (a_{1} + 7 d) = 20 \Rightarrow a_{1} + 7 d = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ .
Маємо систему: ${2 a_{1} + 11 d = \frac{7}{3} a_{1} + 7 d = \frac{4}{3}$ . Помножимо друге рівняння на 2: $2 a_{1} + 14 d = \frac{8}{3}$ .
Віднімемо перше рівняння від зміненого другого: $(2 a_{1} + 14 d) - (2 a_{1} + 11 d) = \frac{8}{3} - \frac{7}{3} \Rightarrow 3 d = \frac{1}{3} \Rightarrow d = \frac{1}{9}$ .
Знайдемо $a_{1}$ з другого рівняння: $a_{1} + 7 \cdot \frac{1}{9} = \frac{4}{3} \Rightarrow a_{1} = \frac{4}{3} - \frac{7}{9} = \frac{12}{9} - \frac{7}{9} = \frac{5}{9}$ .
Обчислимо $S_{27}$ : $S_{27} = \frac{27}{2} (2 a_{1} + 26 d) = \frac{27}{2} (2 \cdot \frac{5}{9} + 26 \cdot \frac{1}{9}) = \frac{27}{2} (\frac{10}{9} + \frac{26}{9}) = \frac{27}{2} \cdot \frac{36}{9} = \frac{27}{2} \cdot 4 = 54$ .

Відповідь:

Сума перших 27 членів дорівнює 54.

Розбір зрозумілий?