Завдання 899, § 16. Арифметична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 899

Знаходження сьомого члена за сумою непарних і парних членів

У прогресії 10 членів. Сума членів з непарними номерами ( $a_{1}, a_{3}, \dots, a_{9}$ ) дорівнює 10, а з парними ( $a_{2}, a_{4}, \dots, a_{10}$ ) — 25. Знайти сьомий член $a_{7}$ .

Розв’язання

У послідовності з 10 членів непарні номери мають індекси 1, 3, 5, 7, 9 (всього 5 членів), парні — 2, 4, 6, 8, 10 (також 5 членів).
Середнє арифметичне непарних членів: $\frac{S _{непар}}{5} = \frac{10}{5} = 2$ . Це середнє між $a_{1}$ і $a_{9}$ , тобто $\frac{a _{1} + a _{9}}{2} = 2$ .
Середнє арифметичне парних членів: $\frac{S _{пар}}{5} = \frac{25}{5} = 5$ . Це середнє між $a_{2}$ і $a_{10}$ , тобто $\frac{a _{2} + a _{10}}{2} = 5$ .
Знайдемо різницю прогресії $d$ . Відомо, що $a_{3} - a_{1} = 2 d$ , а також середнє непарних членів дорівнює $a_{5}$ (оскільки це середній член з 5 елементів). Отже, $a_{5} = 2$ . Аналогічно, середній парний член — це $a_{6}$ , тобто $a_{6} = 5$ .
Оскільки $a_{6}$ і $a_{5}$ сусідні члени прогресії, їх різниця дорівнює $d$ : $d = a_{6} - a_{5} = 5 - 2 = 3$ .
Знайдемо $a_{7}$ за формулою $a_{7} = a_{6} + d = 5 + 3 = 8$ .

Відповідь:

Сьомий член прогресії дорівнює 8.

Розбір зрозумілий?

§ 16. Арифметична прогресія Завдання 899 с. 173

Знаходження сьомого члена за сумою непарних і парних членів

Умова

Що треба знати

Сума непарних членів прогресії з нечетною кількістю елементів дорівнює добутку кількості таких членів на середній (середнє арифметичне) з них. Для парних членів те саме.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Визнач кількість непарних і парних членів у послідовності з 10 елементів, знайди їх середні значення, а потім скористайся властивістю $a_{k} = \frac{a _{k - 1} + a _{k + 1}}{2}$ або просто виразом через різницю.

Розв’язання крок за кроком

У послідовності з 10 членів непарні номери мають індекси 1, 3, 5, 7, 9 (всього 5 членів), парні — 2, 4, 6, 8, 10 (також 5 членів).
Середнє арифметичне непарних членів: $\frac{S _{непар}}{5} = \frac{10}{5} = 2$ . Це середнє між $a_{1}$ і $a_{9}$ , тобто $\frac{a _{1} + a _{9}}{2} = 2$ .
Середнє арифметичне парних членів: $\frac{S _{пар}}{5} = \frac{25}{5} = 5$ . Це середнє між $a_{2}$ і $a_{10}$ , тобто $\frac{a _{2} + a _{10}}{2} = 5$ .
Знайдемо різницю прогресії $d$ . Відомо, що $a_{3} - a_{1} = 2 d$ , а також середнє непарних членів дорівнює $a_{5}$ (оскільки це середній член з 5 елементів). Отже, $a_{5} = 2$ . Аналогічно, середній парний член — це $a_{6}$ , тобто $a_{6} = 5$ .
Оскільки $a_{6}$ і $a_{5}$ сусідні члени прогресії, їх різниця дорівнює $d$ : $d = a_{6} - a_{5} = 5 - 2 = 3$ .
Знайдемо $a_{7}$ за формулою $a_{7} = a_{6} + d = 5 + 3 = 8$ .

Відповідь:

Сьомий член прогресії дорівнює 8.

Розбір зрозумілий?