Завдання 898, § 16. Арифметична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 898

Знаходження різниці прогресії за сумою перших членів

Третій член арифметичної прогресії вдвічі більший за її перший член. Сума перших п'яти членів дорівнює 190. Знайти різницю прогресії $d$ .

Розв’язання

Запишемо умову про третій член: $a_{3} = 2 a_{1}$ . Використаємо формулу загального члена для $n = 3$ : $a_{3} = a_{1} + 2 d$ . Отже, $a_{1} + 2 d = 2 a_{1}$ , звідки отримуємо $a_{1} = 2 d$ .
Запишемо формулу суми перших п'яти членів: $S_{5} = \frac{5 ( a _{1} + a _{5} )}{2} = 190$ . Спростимо рівняння, поділивши на 5 і помноживши на 2: $a_{1} + a_{5} = 76$ .
Виразимо $a_{5}$ через $a_{1}$ : $a_{5} = a_{1} + 4 d$ . Підставимо це в рівняння з кроку 2: $a_{1} + (a_{1} + 4 d) = 76$ , тобто $2 a_{1} + 4 d = 76$ .
Підставимо вираз для $a_{1}$ з кроку 1 ( $a_{1} = 2 d$ ) у рівняння: $2 (2 d) + 4 d = 76 \Rightarrow 4 d + 4 d = 76 \Rightarrow 8 d = 76$ .
Знайдемо $d$ : $d = \frac{76}{8} = 9, 5$ .

Відповідь:

Різниця прогресії дорівнює $9, 5$ .

Розбір зрозумілий?

§ 16. Арифметична прогресія Завдання 898 с. 173

Знаходження різниці прогресії за сумою перших членів

Умова

Що треба знати

Загальний член арифметичної прогресі знаходять за формулою $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ , а суму перших $n$ членів — за формулою $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Скористайся умовою про третій і перший члени, щоб виразити $a_{3}$ через $a_{1}$ , а потім підстав це у формулу суми.

Розв’язання крок за кроком

Запишемо умову про третій член: $a_{3} = 2 a_{1}$ . Використаємо формулу загального члена для $n = 3$ : $a_{3} = a_{1} + 2 d$ . Отже, $a_{1} + 2 d = 2 a_{1}$ , звідки отримуємо $a_{1} = 2 d$ .
Запишемо формулу суми перших п'яти членів: $S_{5} = \frac{5 ( a _{1} + a _{5} )}{2} = 190$ . Спростимо рівняння, поділивши на 5 і помноживши на 2: $a_{1} + a_{5} = 76$ .
Виразимо $a_{5}$ через $a_{1}$ : $a_{5} = a_{1} + 4 d$ . Підставимо це в рівняння з кроку 2: $a_{1} + (a_{1} + 4 d) = 76$ , тобто $2 a_{1} + 4 d = 76$ .
Підставимо вираз для $a_{1}$ з кроку 1 ( $a_{1} = 2 d$ ) у рівняння: $2 (2 d) + 4 d = 76 \Rightarrow 4 d + 4 d = 76 \Rightarrow 8 d = 76$ .
Знайдемо $d$ : $d = \frac{76}{8} = 9, 5$ .

Відповідь:

Різниця прогресії дорівнює $9, 5$ .

Розбір зрозумілий?