Завдання 897, § 16. Арифметична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 897

Сума перших дев'яти членів за сумою четвертого і шостого

Сума четвертого і шостого членів арифметичної прогресії дорівнює 14. Знайди суму перших дев'яти членів прогресії.

Розв’язання

Запишемо відому суму через перший ( $a_{1}$ ) і різницю ( $d$ ): $a_{4} + a_{6} = (a_{1} + 3 d) + (a_{1} + 5 d) = 2 a_{1} + 8 d$ .
За умовою $2 a_{1} + 8 d = 14$ , звідки $a_{1} + 4 d = 7$ . Зверни увагу, що $a_{1} + 4 d$ — це формула для п'ятого члена прогресії ( $a_{5}$ ).
Отже, $a_{5} = 7$ . П'ятий член є середнім членом перших дев'яти членів прогресії.
Сума перших дев'яти членів дорівнює добутку кількості членів на середній: $S_{9} = 9 \cdot a_{5} = 9 \cdot 7$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?

§ 16. Арифметична прогресія Завдання 897 с. 173

Сума перших дев'яти членів за сумою четвертого і шостого

Умова

Що треба знати

У арифметичній прогресії виконується властивість $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ , якщо $m + n = p + q$ . Також сума перших непарної кількості членів дорівнює добутку кількості членів на середній (середнє арифметичне) член.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спробуй виразити суму $a_{4} + a_{6}$ через перший і останній члени прогресії, щоб порівняти з формулою для $S_{9}$ .

Розв’язання крок за кроком

Запишемо відому суму через перший ( $a_{1}$ ) і різницю ( $d$ ): $a_{4} + a_{6} = (a_{1} + 3 d) + (a_{1} + 5 d) = 2 a_{1} + 8 d$ .
За умовою $2 a_{1} + 8 d = 14$ , звідки $a_{1} + 4 d = 7$ . Зверни увагу, що $a_{1} + 4 d$ — це формула для п'ятого члена прогресії ( $a_{5}$ ).
Отже, $a_{5} = 7$ . П'ятий член є середнім членом перших дев'яти членів прогресії.
Сума перших дев'яти членів дорівнює добутку кількості членів на середній: $S_{9} = 9 \cdot a_{5} = 9 \cdot 7$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?