Завдання 894, § 16. Арифметична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 894

Сума членів за відомим

a_{17}

Сімнадцятий член арифметичної прогресії дорівнює 8 ( $a_{17} = 8$ ). Знайти суму її перших 33 членів.

Розв’язання

Використовуємо властивість арифметичної прогресії: сума першого і останнього члена ( $a_{1} + a_{33}$ ) дорівнює подвоєному значенню середнього члена, індекс якого є середнім арифметичним індексів 1 і 33. Середній індекс $\frac{1 + 33}{2} = 17$ .
Отже, $a_{1} + a_{33} = 2 \cdot a_{17}$ . Оскільки $a_{17} = 8$ , то $a_{1} + a_{33} = 2 \cdot 8 = 16$ .
Підставляємо значення у формулу суми для $n = 33$ : $S_{33} = \frac{33}{2} (a_{1} + a_{33}) = \frac{33}{2} \cdot 16 = 33 \cdot 8 = 264$ .

Відповідь:

264.

Розбір зрозумілий?

§ 16. Арифметична прогресія Завдання 894 с. 173

Сума членів за відомим $a_{17}$

Умова

Сімнадцятий член арифметичної прогресії дорівнює 8 ( $a_{17} = 8$ ). Знайти суму її перших 33 членів.

Що треба знати

Сума $n$ членів арифметичної прогресії обчислюється за формулою $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ . Також існує властивість, що $a_{1} + a_{n} = a_{k} + a_{n - k + 1}$ . Зокрема, сума першого і останнього члена дорівнює сумі середніх членів.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спробуй виразити $a_{1}$ через $a_{17}$ та різницю прогресії $d$ , або скористайся властивістю симетрії. Зверни увагу, що середнє арифметичне першого і тридцятретього члена дорівнює середньому з дванадцятого і двадцять другого? Ні, краще використати зв'язок між індексами: $a_{1} + a_{33} = 2 \cdot a_{\frac{1 + 33}{2}} = 2 \cdot a_{17}$ .

Розв’язання крок за кроком

Використовуємо властивість арифметичної прогресії: сума першого і останнього члена ( $a_{1} + a_{33}$ ) дорівнює подвоєному значенню середнього члена, індекс якого є середнім арифметичним індексів 1 і 33. Середній індекс $\frac{1 + 33}{2} = 17$ .
Отже, $a_{1} + a_{33} = 2 \cdot a_{17}$ . Оскільки $a_{17} = 8$ , то $a_{1} + a_{33} = 2 \cdot 8 = 16$ .
Підставляємо значення у формулу суми для $n = 33$ : $S_{33} = \frac{33}{2} (a_{1} + a_{33}) = \frac{33}{2} \cdot 16 = 33 \cdot 8 = 264$ .

Відповідь:

264.

Розбір зрозумілий?

Сума членів за відомим a17​

Сума членів за відомим $a_{17}$