Завдання 885, § 16. Арифметична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 885

Знаходження суми арифметичної прогресії за іншими членами та кількістю членів

Дано арифметичну прогресію. Знайти суму перших $n$ членів ( $S_{n}$ ) у двох випадках:
а) Другий член $a_{2} = 5$ , четвертий член $a_{4} = 11$ , кількість членів $n = 100$ .
б) Четвертий член $a_{4} = 9$ , десятий член $a_{10} = - 3$ , кількість членів $n = 28$ .

Розв’язання

Випадок а):
Знайдемо різницю $d$ . Відомо, що $a_{4} = a_{2} + (4 - 2) d = a_{2} + 2 d$ .
Підставимо числа: $11 = 5 + 2 d \Rightarrow 2 d = 6 \Rightarrow d = 3$ .
Знайдемо останній член $a_{100}$ : $a_{100} = a_{4} + (100 - 4) d = 11 + 96 \cdot 3 = 11 + 288 = 299$ .
Обчислимо суму: $S_{100} = \frac{100 ( 5 + 299 )}{2} = 50 \cdot 304 = 15200$ .
Випадок б):
Знайдемо різницю $d$ . Відомо, що $a_{10} = a_{4} + (10 - 4) d = a_{4} + 6 d$ .
Підставимо числа: $- 3 = 9 + 6 d \Rightarrow 6 d = - 12 \Rightarrow d = - 2$ .
Знайдемо останній член $a_{28}$ : $a_{28} = a_{4} + (28 - 4) d = 9 + 24 \cdot (- 2) = 9 - 48 = - 39$ .
Обчислимо суму: $S_{28} = \frac{28 ( 9 + ( - 39 ))}{2} = 14 \cdot (- 30) = - 420$ .

Відповідь:

а) $15200$ ; б) $- 420$ .

Розбір зрозумілий?

§ 16. Арифметична прогресія Завдання 885 с. 172

Знаходження суми арифметичної прогресії за іншими членами та кількістю членів

Умова

Що треба знати

Сума перших $n$ членів арифметичної прогресії обчислюється за формулою:
$S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$
Для знаходження суми потрібно знати останній член $a_{n}$ . Його можна знайти через різницю $d$ , яку визначимо з відомих членів.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Знайди різницю прогресії $d$ за формулою $a_{k} = a_{m} + (k - m) d$ . Потім вичисли останній член $a_{n}$ та підстав у формулу суми.

Розв’язання крок за кроком

Випадок а):
Знайдемо різницю $d$ . Відомо, що $a_{4} = a_{2} + (4 - 2) d = a_{2} + 2 d$ .
Підставимо числа: $11 = 5 + 2 d \Rightarrow 2 d = 6 \Rightarrow d = 3$ .
Знайдемо останній член $a_{100}$ : $a_{100} = a_{4} + (100 - 4) d = 11 + 96 \cdot 3 = 11 + 288 = 299$ .
Обчислимо суму: $S_{100} = \frac{100 ( 5 + 299 )}{2} = 50 \cdot 304 = 15200$ .
Випадок б):
Знайдемо різницю $d$ . Відомо, що $a_{10} = a_{4} + (10 - 4) d = a_{4} + 6 d$ .
Підставимо числа: $- 3 = 9 + 6 d \Rightarrow 6 d = - 12 \Rightarrow d = - 2$ .
Знайдемо останній член $a_{28}$ : $a_{28} = a_{4} + (28 - 4) d = 9 + 24 \cdot (- 2) = 9 - 48 = - 39$ .
Обчислимо суму: $S_{28} = \frac{28 ( 9 + ( - 39 ))}{2} = 14 \cdot (- 30) = - 420$ .

Відповідь:

а) $15200$ ; б) $- 420$ .

Розбір зрозумілий?