Завдання 881, § 16. Арифметична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 881

Властивості суми членів прогресії

Дано арифметичну прогресію з $n$ -м членом $a_{n}$ . Потрібно довести дві рівності: а) $a_{2} + a_{23} = a_{13} + a_{12}$ ; б) $a_{20} - a_{16} = a_{10} - a_{6}$ .

Розв’язання

Запишемо загальний вираз для кожного члена через перший член $a_{1}$ і різницю $d$ : $a_{k} = a_{1} + (k - 1) d$ .
Розглянемо пункт а): підставимо формулу в ліву частину ( $a_{2} + a_{23}$ ) та праву частину ( $a_{13} + a_{12}$ ). Отримаємо $(a_{1} + d) + (a_{1} + 22 d)$ і $(a_{1} + 12 d) + (a_{1} + 11 d)$ .
Спростимо обидві частини: $2 a_{1} + 23 d$ дорівнює $2 a_{1} + 23 d$ , отже рівність виконується.
Розглянемо пункт б): виразимо різниці через різницю прогресії $d$ . Ліва частина: $(a_{1} + 19 d) - (a_{1} + 15 d) = 4 d$ . Права частина: $(a_{1} + 9 d) - (a_{1} + 5 d) = 4 d$ .

Відповідь:

а) Доведено ( $a_{2} + a_{23} = a_{13} + a_{12}$ ); б) Доведено ( $a_{20} - a_{16} = a_{10} - a_{6}$ ).

Розбір зрозумілий?

§ 16. Арифметична прогресія Завдання 881 с. 172

Властивості суми членів прогресії

Умова

Що треба знати

У будь-якій арифметичній прогресії сума членів, віддалених одна від одної на одну й ту саму кількість кроків, є сталою ( $a_{k} + a_{m} = a_{p} + a_{q}$ , якщо $k + m = p + q$ ). Також різниця між будь-якими двома послідовними членами дорівнює різниці між будь-якими іншими двома членами з такою ж відстанню.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Використай загальну формулу $n$ -го члена прогресії через перший член і різницю, щоб замінити літери на вирази та перевірити рівність.

Розв’язання крок за кроком

Запишемо загальний вираз для кожного члена через перший член $a_{1}$ і різницю $d$ : $a_{k} = a_{1} + (k - 1) d$ .
Розглянемо пункт а): підставимо формулу в ліву частину ( $a_{2} + a_{23}$ ) та праву частину ( $a_{13} + a_{12}$ ). Отримаємо $(a_{1} + d) + (a_{1} + 22 d)$ і $(a_{1} + 12 d) + (a_{1} + 11 d)$ .
Спростимо обидві частини: $2 a_{1} + 23 d$ дорівнює $2 a_{1} + 23 d$ , отже рівність виконується.
Розглянемо пункт б): виразимо різниці через різницю прогресії $d$ . Ліва частина: $(a_{1} + 19 d) - (a_{1} + 15 d) = 4 d$ . Права частина: $(a_{1} + 9 d) - (a_{1} + 5 d) = 4 d$ .

Відповідь:

а) Доведено ( $a_{2} + a_{23} = a_{13} + a_{12}$ ); б) Доведено ( $a_{20} - a_{16} = a_{10} - a_{6}$ ).

Розбір зрозумілий?