Дано арифметичну прогресію a1,a2,a3,… та довільне число c. Потрібно довести, що послідовність ca1,ca2,ca3,… також є арифметичною прогресією.
Розв’язання
Нехай an+1−an=d, де d — стала різниця початкової прогресії.
Розглянемо різницю сусідніх членів нової послідовності: (c⋅an+1)−(c⋅an).
Виносимо спільний множник c за дужки: c(an+1−an)=c⋅d. Оскільки c і d — сталі числа, то їх добуток також є сталою величиною. Отже, нова послідовність є арифметичною прогресією з різницею c⋅d.
Відповідь:
Доведено, що послідовність ca1,ca2,… є арифметичною прогресією.
Дано арифметичну прогресію a1,a2,a3,… та довільне число c. Потрібно довести, що послідовність ca1,ca2,ca3,… також є арифметичною прогресією.
Що треба знати
Арифметична прогресія — це послідовність, різниця між будь-якими сусідніми членами якої є сталою величиною (d). Якщо початковий крок an+1−an=d, то для нової послідовності різниця буде (c⋅an+1)−(c⋅an).
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Запиши визначення арифметичної прогресії через різницю сусідніх членів. Помнож ці вирази на c і покажи, що нова різниця також є сталою.
Розв’язання крок за кроком
Нехай an+1−an=d, де d — стала різниця початкової прогресії.
Розглянемо різницю сусідніх членів нової послідовності: (c⋅an+1)−(c⋅an).
Виносимо спільний множник c за дужки: c(an+1−an)=c⋅d. Оскільки c і d — сталі числа, то їх добуток також є сталою величиною. Отже, нова послідовність є арифметичною прогресією з різницею c⋅d.
Відповідь:
Доведено, що послідовність ca1,ca2,… є арифметичною прогресією.
