Завдання 860, § 16. Арифметична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 860

Знаходження конкретного члена прогресії за сумою двох його членів

Дано арифметичну прогресію. Знайти восьмий член $a_{8}$ , якщо $a_{2} + a_{14} = 20$ .

Розв’язання

Запишемо формули для $a_{2}$ та $a_{14}$ через перший член $a_{1}$ і різницю $d$ : $a_{2} = a_{1} + d$ , $a_{14} = a_{1} + 13 d$ .
Складемо рівняння: $(a_{1} + d) + (a_{1} + 13 d) = 20 \Rightarrow 2 a_{1} + 14 d = 20$ .
Виділимо спільний множник: $2 (a_{1} + 7 d) = 20$ . Зауважимо, що $a_{8} = a_{1} + (8 - 1) d = a_{1} + 7 d$ . Отже, $2 \cdot a_{8} = 20$ .
Знайдемо шукане значення: $a_{8} = 10$ .

Відповідь:

$a_{8} = 10$ .

Розбір зрозумілий?

§ 16. Арифметична прогресія Завдання 860 с. 171

Знаходження конкретного члена прогресії за сумою двох його членів

Умова

Дано арифметичну прогресію. Знайти восьмий член $a_{8}$ , якщо $a_{2} + a_{14} = 20$ .

Що треба знати

У будь-якій арифметичній прогресії сума двох членів, віддалених однаково від центру (або симетричних), дорівнює сумі інших таких пар. Зокрема, $a_{2} + a_{14} = 2 \cdot a_{8}$ , оскільки середнє арифметичне між індексами 2 і 14 — це $\frac{2 + 14}{2} = 8$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Використайте властивість арифметичної прогресії про суму членів, щоб знайти $a_{8}$ без прямого обчислення різниці.

Розв’язання крок за кроком

Запишемо формули для $a_{2}$ та $a_{14}$ через перший член $a_{1}$ і різницю $d$ : $a_{2} = a_{1} + d$ , $a_{14} = a_{1} + 13 d$ .
Складемо рівняння: $(a_{1} + d) + (a_{1} + 13 d) = 20 \Rightarrow 2 a_{1} + 14 d = 20$ .
Виділимо спільний множник: $2 (a_{1} + 7 d) = 20$ . Зауважимо, що $a_{8} = a_{1} + (8 - 1) d = a_{1} + 7 d$ . Отже, $2 \cdot a_{8} = 20$ .
Знайдемо шукане значення: $a_{8} = 10$ .

Відповідь:

$a_{8} = 10$ .

Розбір зрозумілий?