Завдання 856, § 16. Арифметична прогресія — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 856

Знайти 30-й член прогресії

Дано арифметичну прогресію $a_{1}, a_{2}, \dots$ . Знайти $a_{30}$ за умови: а) $a_{2} = 3, a_{4} = 4$ ; б) $a_{1} = 8, a_{5} - a_{3} = 6$ .

Розв’язання

а) 1. Знайдемо різницю: $d = \frac{a _{4} - a _{2}}{4 - 2} = \frac{4 - 3}{2} = 0, 5$ .
Знайдемо перший член: $a_{1} = a_{2} - d = 3 - 0, 5 = 2, 5$ .
Обчислимо $a_{30}$ : $a_{30} = 2, 5 + (30 - 1) \cdot 0, 5 = 2, 5 + 14, 5 = 17$ .
б) 1. Знайдемо різницю: $d = \frac{( a _{5} - a _{3} )}{5 - 3} = \frac{6}{2} = 3$ .
Перший член: $a_{1} = a_{5} - 4 d = (a_{3} + 3) - 4 (3) = (a_{1} + 3 \cdot 3) - 12 \Rightarrow$ простіше через $a_{1}$ : $a_{5} = a_{1} + 4 d$ , $a_{3} = a_{1} + 2 d$ . Різниця $(a_{1} + 4 d) - (a_{1} + 2 d) = 2 d = 6 \Rightarrow d = 3$ .
Знайдемо $a_{1}$ : $a_{5} = a_{1} + 4 \cdot 3 \Rightarrow a_{1} = a_{5} - 12$ . Але ми не знаємо $a_{5}$ окремо, маємо лише різницю. Перевіримо умову: $a_{5} - a_{3} = 6$ . Це дає $d = 3$ . Щоб знайти $a_{30}$ , треба знати $a_{1}$ . Умова б) не містить конкретного значення для одного з членів, лише їх різницю. Перечитаємо: "б) $a_{1} = 8$ ". Тоді $a_{1} = 8$ , $d = 3$ .
Обчислимо $a_{30}$ : $a_{30} = 8 + (30 - 1) \cdot 3 = 8 + 29 \cdot 3 = 8 + 87 = 95$ .

Відповідь:

а) 17; б) 95

Розбір зрозумілий?

§ 16. Арифметична прогресія Завдання 856 с. 171

Знайти 30-й член прогресії

Умова

Дано арифметичну прогресію $a_{1}, a_{2}, \dots$ . Знайти $a_{30}$ за умови: а) $a_{2} = 3, a_{4} = 4$ ; б) $a_{1} = 8, a_{5} - a_{3} = 6$ .

Що треба знати

Різницю прогресії можна знайти через різницчч індексів: $d = \frac{a _{m} - a _{k}}{m - k}$ . Загальний член обчислюється як $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спочатку визнач різницю $d$ для кожного випадку, потім знайди перший член $a_{1}$ , а згодом підстав у формулу загального члена.

Розв’язання крок за кроком

а) 1. Знайдемо різницю: $d = \frac{a _{4} - a _{2}}{4 - 2} = \frac{4 - 3}{2} = 0, 5$ .
Знайдемо перший член: $a_{1} = a_{2} - d = 3 - 0, 5 = 2, 5$ .
Обчислимо $a_{30}$ : $a_{30} = 2, 5 + (30 - 1) \cdot 0, 5 = 2, 5 + 14, 5 = 17$ .
б) 1. Знайдемо різницю: $d = \frac{( a _{5} - a _{3} )}{5 - 3} = \frac{6}{2} = 3$ .
Перший член: $a_{1} = a_{5} - 4 d = (a_{3} + 3) - 4 (3) = (a_{1} + 3 \cdot 3) - 12 \Rightarrow$ простіше через $a_{1}$ : $a_{5} = a_{1} + 4 d$ , $a_{3} = a_{1} + 2 d$ . Різниця $(a_{1} + 4 d) - (a_{1} + 2 d) = 2 d = 6 \Rightarrow d = 3$ .
Знайдемо $a_{1}$ : $a_{5} = a_{1} + 4 \cdot 3 \Rightarrow a_{1} = a_{5} - 12$ . Але ми не знаємо $a_{5}$ окремо, маємо лише різницю. Перевіримо умову: $a_{5} - a_{3} = 6$ . Це дає $d = 3$ . Щоб знайти $a_{30}$ , треба знати $a_{1}$ . Умова б) не містить конкретного значення для одного з членів, лише їх різницю. Перечитаємо: "б) $a_{1} = 8$ ". Тоді $a_{1} = 8$ , $d = 3$ .
Обчислимо $a_{30}$ : $a_{30} = 8 + (30 - 1) \cdot 3 = 8 + 29 \cdot 3 = 8 + 87 = 95$ .

Відповідь:

а) 17; б) 95

Розбір зрозумілий?