Завдання 810, § 15. Послідовність Sequence — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 810

Розв'язання систем рівнянь

Розв'язати системи: а) ${x + y = 5 x^{2} + y^{2} - 2 x = 15$ ; б) ${x^{2} + y^{2} = 25 x y + 12 = 0$ ; в) ${x^{2} + y^{2} = 25 (x - 4)^{2} + y^{2} = 9$ ; г) ${x^{2} + y^{2} = 25 x^{2} + y^{2} - 6 x = 7$ .

Розв’язання

а) З першого рівняння $y = 5 - x$ . Підставимо у друге: $x^{2} + (5 - x)^{2} - 2 x = 15 \Rightarrow 2 x^{2} - 12 x + 10 = 0 \Rightarrow x^{2} - 6 x + 5 = 0$ . Корені: $x_{1} = 1, x_{2} = 5$ . Відповідно $y_{1} = 4, y_{2} = 0$ . Розв'язки $(1; 4), (5; 0)$ .
б) З другого рівняння $x y = - 12 \Rightarrow y = - 12/ x$ . Підставимо у перше: $x^{2} + 144/ x^{2} = 25$ . Нехай $t = x^{2}$ , тоді $t + 144/ t = 25 \Rightarrow t^{2} - 25 t + 144 = 0$ . Корені $t_{1} = 9, t_{2} = 16$ . Тоді $x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ , $x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4$ . Відповідні $y$ : якщо $x = 3, y = - 4$ ; якщо $x = - 3, y = 4$ ; якщо $x = 4, y = - 3$ ; якщо $x = - 4, y = 3$ . Розв'язки $(3; - 4), (- 3; 4), (4; - 3), (- 4; 3)$ .
в) Віднімемо друге рівняння від першого: $(x^{2} + y^{2}) - ((x - 4)^{2} + y^{2}) = 25 - 9 \Rightarrow x^{2} - (x^{2} - 8 x + 16) = 16 \Rightarrow 8 x - 16 = 16 \Rightarrow 8 x = 32 \Rightarrow x = 4$ . Підставимо у перше: $16 + y^{2} = 25 \Rightarrow y^{2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3$ . Розв'язки $(4; 3), (4; - 3)$ .
г) Віднімемо друге рівняння від першого: $(x^{2} + y^{2}) - (x^{2} + y^{2} - 6 x) = 25 - 7 \Rightarrow 6 x = 18 \Rightarrow x = 3$ . Підставимо у перше: $9 + y^{2} = 25 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4$ . Розв'язки $(3; 4), (3; - 4)$ .

Відповідь:

а) $(1; 4), (5; 0)$ ; б) $(3; - 4), (- 3; 4), (4; - 3), (- 4; 3)$ ; в) $(4; 3), (4; - 3)$ ; г) $(3; 4), (3; - 4)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 15. Послідовність Sequence Завдання 810 с. 163

Розв'язання систем рівнянь

Умова

Що треба знати

Системи з рівняннями другого степені розв'язують методом підстановки або віднімання. Рівняння $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ описує коло, а $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ — коло з центром $(a; b)$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для системи в) віднімемо друге рівняння від першого, щоб отримати лінійне рівняння. Для системи г) також виконаємо віднімання.

Розв’язання крок за кроком

а) З першого рівняння $y = 5 - x$ . Підставимо у друге: $x^{2} + (5 - x)^{2} - 2 x = 15 \Rightarrow 2 x^{2} - 12 x + 10 = 0 \Rightarrow x^{2} - 6 x + 5 = 0$ . Корені: $x_{1} = 1, x_{2} = 5$ . Відповідно $y_{1} = 4, y_{2} = 0$ . Розв'язки $(1; 4), (5; 0)$ .
б) З другого рівняння $x y = - 12 \Rightarrow y = - 12/ x$ . Підставимо у перше: $x^{2} + 144/ x^{2} = 25$ . Нехай $t = x^{2}$ , тоді $t + 144/ t = 25 \Rightarrow t^{2} - 25 t + 144 = 0$ . Корені $t_{1} = 9, t_{2} = 16$ . Тоді $x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ , $x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4$ . Відповідні $y$ : якщо $x = 3, y = - 4$ ; якщо $x = - 3, y = 4$ ; якщо $x = 4, y = - 3$ ; якщо $x = - 4, y = 3$ . Розв'язки $(3; - 4), (- 3; 4), (4; - 3), (- 4; 3)$ .
в) Віднімемо друге рівняння від першого: $(x^{2} + y^{2}) - ((x - 4)^{2} + y^{2}) = 25 - 9 \Rightarrow x^{2} - (x^{2} - 8 x + 16) = 16 \Rightarrow 8 x - 16 = 16 \Rightarrow 8 x = 32 \Rightarrow x = 4$ . Підставимо у перше: $16 + y^{2} = 25 \Rightarrow y^{2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3$ . Розв'язки $(4; 3), (4; - 3)$ .
г) Віднімемо друге рівняння від першого: $(x^{2} + y^{2}) - (x^{2} + y^{2} - 6 x) = 25 - 7 \Rightarrow 6 x = 18 \Rightarrow x = 3$ . Підставимо у перше: $9 + y^{2} = 25 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4$ . Розв'язки $(3; 4), (3; - 4)$ .

Відповідь:

а) $(1; 4), (5; 0)$ ; б) $(3; - 4), (- 3; 4), (4; - 3), (- 4; 3)$ ; в) $(4; 3), (4; - 3)$ ; г) $(3; 4), (3; - 4)$ .

Розбір зрозумілий?