ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 163

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 805–810 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 15. Послідовність Sequence

Завдання 805

Сума членів послідовності

Послідовність задана формулою $a_{n} = (- 1)^{n}$ . Знайти суму її перших $n$ членів, якщо: а) $n = 100$ ; б) $n = 1000$ ; в) $n = 1001$ .

Розв’язання

Запишемо перші кілька членів послідовності: $a_{1} = - 1$ , $a_{2} = 1$ , $a_{3} = - 1$ , $a_{4} = 1$ і т. д.
Сума будь-яких двох сусідніх членів дорівнює нулю ( $- 1 + 1 = 0$ ).
а) При $n = 100$ (парне число) у послідовності міститься рівно 50 пар, тому сума дорівнює $0$ .
б) При $n = 1000$ (парне число) також є 500 пар, отже сума дорівнює $0$ .
в) При $n = 1001$ (непарне число) у послідовності міститься 500 пар і один останній член ( $a_{1001} = - 1$ ), тому сума дорівнює $- 1$ .

Відповідь:

а) $0$ ; б) $0$ ; в) $- 1$ .

Завдання 806

Формули для послідовності нечетних чисел

Знайти дві різні формули $n$ -го члена послідовності, першими членами якої є числа $1, 3, 5, 7, \dots$ .

Розв’язання

Перший спосіб (лінійна): Оскільки різниця між сусідніми членами дорівнює $2$ , формула має вигляд $a_{n} = 2 n - 1$ . Перевірка: при $n = 1$ отримуємо $1$ , при $n = 2$ — $3$ .
Другий спосіб (через корінь): Відомо, що квадрат непарного числа можна записати як $(2 k - 1)^{2}$ , але тут простіше використати властивість парних чисел: $a_{n} = 4 n^{2} - 1$ або спробувати інший підхід. Простіша альтернативна формула через модуль або абсолютну величину, наприклад, $a_{n} = ∣2 n - 3∣ + 1$ (перевірка: $n = 1 \to 1$ , $n = 2 \to 3$ ). Ще простіший варіант — використати властивість парних чисел: $a_{n} = 2 n - 1$ . Другий варіант може бути через корені, але в шкільній програмі частіше шукають лінійні залежності. Можна взяти $a_{n} = 4 n^{2} - 1$ (це не ціле число). Краще: $a_{n} = 2 n - 1$ та $a_{n} = ∣2 n - 3∣ + 1$ .

Відповідь:

$a_{n} = 2 n - 1$ ; $a_{n} = ∣2 n - 3∣ + 1$ .

Завдання 807

Квадрати послідовності Фібоначчі

Перемалювати малюнок, на якому зображені квадрати зі сторонами $1$ , $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $8$ . Потрібно намалювати два нові квадрати так, щоб їхні сторони дорівнювали наступним членам послідовності Фібоначчі ( $13$ та $21$ ).

Розв’язання

Знайдемо наступні члени послідовності Фібоначчі: $8 + 5 = 13$ та $13 + 8 = 21$ .
Намалюємо квадрат зі стороною $13 см$ (або в одиницях малюнка) поруч з квадратом зі стороною $8$ .
Далі намалюємо квадрат зі стороною $21$ поруч з квадратами $13$ та $8$ , щоб завершити візерунок.

Відповідь:

Нові сторони дорівнюють $13$ і $21$ . Приклад природного явища: розташування листків на стеблі деяких рослин (філометрія) або спіраль раковини молюсків часто відповідає пропорціям чисел Фібоначчі.

Завдання 808

Розподіл витрат та прибутку

Підприємниця купила два предмети за загальною ціною $2500$ грн і після продажу отримала загальний прибуток $40%$ . Перший предмет приніс прибуток $25%$ , а другий — $50%$ . Знайти вартість кожного предмета.

Розв’язання

Знайдемо загальний прибуток: $0, 4 \cdot 2500 = 1000$ грн.
Складемо рівняння балансу прибутків: $0, 25 x + 0, 5 y = 1000$ .
Маємо систему: ${x + y = 2500 0, 25 x + 0, 5 y = 1000$ . Перетворимо друге рівняння, помноживши на 4: $x + 2 y = 4000$ .
Віднімемо перше рівняння від отриманого другого: $(x + 2 y) - (x + y) = 4000 - 2500 \Rightarrow y = 1500$ .
Знайдемо $x$ : $x = 2500 - 1500 = 1000$ .

Відповідь:

Перший предмет коштував $1000$ грн, другий — $1500$ грн.

Завдання 809

Побудова графіків квадратичних функцій

Побудувати графіки функцій: а) $y = x^{2} + 3$ ; б) $y = x^{2} - 2$ ; в) $y = (x - 4)^{2}$ ; г) $y = (x + 3)^{2}$ .

Розв’язання

а) Вершина в $(0; 3)$ , проміжок зміни $y$ від $3$ .
б) Вершина в $(0; - 2)$ , проміжок зміни $y$ від $- 2$ .
в) Вершина в $(4; 0)$ , вершина на осі абсцис.
г) Вершина в $(- 3; 0)$ , вершина на осі абсцис.

Відповідь:

а) Парабола з вершиною $(0; 3)$ ; б) Парабола з вершиною $(0; - 2)$ ; в) Парабола з вершиною $(4; 0)$ ; г) Парабола з вершиною $(- 3; 0)$ . (Графіки неможливо намалювати текстом, описано властивості).

Завдання 810

Розв'язання систем рівнянь

Розв'язати системи: а) ${x + y = 5 x^{2} + y^{2} - 2 x = 15$ ; б) ${x^{2} + y^{2} = 25 x y + 12 = 0$ ; в) ${x^{2} + y^{2} = 25 (x - 4)^{2} + y^{2} = 9$ ; г) ${x^{2} + y^{2} = 25 x^{2} + y^{2} - 6 x = 7$ .

Розв’язання

а) З першого рівняння $y = 5 - x$ . Підставимо у друге: $x^{2} + (5 - x)^{2} - 2 x = 15 \Rightarrow 2 x^{2} - 12 x + 10 = 0 \Rightarrow x^{2} - 6 x + 5 = 0$ . Корені: $x_{1} = 1, x_{2} = 5$ . Відповідно $y_{1} = 4, y_{2} = 0$ . Розв'язки $(1; 4), (5; 0)$ .
б) З другого рівняння $x y = - 12 \Rightarrow y = - 12/ x$ . Підставимо у перше: $x^{2} + 144/ x^{2} = 25$ . Нехай $t = x^{2}$ , тоді $t + 144/ t = 25 \Rightarrow t^{2} - 25 t + 144 = 0$ . Корені $t_{1} = 9, t_{2} = 16$ . Тоді $x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ , $x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4$ . Відповідні $y$ : якщо $x = 3, y = - 4$ ; якщо $x = - 3, y = 4$ ; якщо $x = 4, y = - 3$ ; якщо $x = - 4, y = 3$ . Розв'язки $(3; - 4), (- 3; 4), (4; - 3), (- 4; 3)$ .
в) Віднімемо друге рівняння від першого: $(x^{2} + y^{2}) - ((x - 4)^{2} + y^{2}) = 25 - 9 \Rightarrow x^{2} - (x^{2} - 8 x + 16) = 16 \Rightarrow 8 x - 16 = 16 \Rightarrow 8 x = 32 \Rightarrow x = 4$ . Підставимо у перше: $16 + y^{2} = 25 \Rightarrow y^{2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3$ . Розв'язки $(4; 3), (4; - 3)$ .
г) Віднімемо друге рівняння від першого: $(x^{2} + y^{2}) - (x^{2} + y^{2} - 6 x) = 25 - 7 \Rightarrow 6 x = 18 \Rightarrow x = 3$ . Підставимо у перше: $9 + y^{2} = 25 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4$ . Розв'язки $(3; 4), (3; - 4)$ .

Відповідь:

а) $(1; 4), (5; 0)$ ; б) $(3; - 4), (- 3; 4), (4; - 3), (- 4; 3)$ ; в) $(4; 3), (4; - 3)$ ; г) $(3; 4), (3; - 4)$ .