Сторінка 162

Розв’язання

1. Для пункту а):
   Розв'язуємо дві нерівності:
   $2n+1>8\Rightarrow 2n>7\Rightarrow n>3,5$;
   $2n+1<30\Rightarrow 2n<29\Rightarrow n<14,5$.
   Оскільки $n$ — натуральне число, то $n\in \{4,5,\dots ,14\}$.

2. Для пункту б):
   Розв'язуємо дві нерівності:
   $4-7n>-40\Rightarrow -7n>-44\Rightarrow n<\frac{44}{7}\approx 6,3$;
   $4-7n<-10\Rightarrow -7n<-14\Rightarrow n>2$.
   Натуральні числа в проміжку $(2;6,3)$: $n\in \{3,4,5,6\}$.

3. Для пункту в):
   Розв'язуємо дві нерівності (враховуючи, що $\sqrt{n+2}$ визначено при $n\ge -2$):
   $\sqrt{n+2}>\sqrt{10}\Rightarrow n+2>10\Rightarrow n>8$;
   $\sqrt{n+2}<10\Rightarrow n+2<100\Rightarrow n<98$.
   Натуральні числа в проміжку $(8;98)$: $n\in \{9,10,\dots ,97\}$.

Розв’язання

1. Для пункту а):
   $-3n+374>0\Rightarrow -3n>-374\Rightarrow n<\frac{374}{3}=124\frac{2}{3}$.
   Оскільки $n$ — натуральне число, то $n\in \{1,2,\dots ,124\}$. Кількість таких членів дорівнює 124.

2. Для пункту б):
   Розв'яжемо рівняння $-n^2+70n+800=0$:
   Дискримінант $D=70^2-4\cdot (-1)\cdot 800=4900+3200=8100$.
   $\sqrt{D}=90$.
   Корені: $n_1=\frac{-70-90}{-2}=\frac{-160}{-2}=80$;
   $n_2=\frac{-70+90}{-2}=\frac{20}{-2}=-10$.
   Оскільки коефіцієнт при $n^2$ від'ємний, тричлен додатний між коренями: $-10<n<80$.
   Натуральні значення $n$: $\{1,2,\dots ,79\}$. Кількість таких членів дорівнює 79.

Розв’язання

1. Знайдемо корені рівняння $n^2-15n=0$:
   $n(n-15)=0$.
   Корені: $n_1=0$, $n_2=15$.

2. Визначимо знак тричлена:
   Оскільки коефіцієнт при $n^2$ додатний ($1>0$), парабола розкривається вгору, тому тричлен менший за нуль між коренями: $0<n<15$.

3. Порахуємо кількість натуральних чисел:
   Натуральні числа у проміжку $(0;15)$ це $\{1,2,\dots ,14\}$.
   Кількість таких чисел дорівнює $14-1+1=14$.

Розв’язання

1. а) Шукаємо $n$ так, щоб $7n-2$ закінчувалося на 0 (тобто ділилося на 10). Спробуємо невеликі значення $n$: при $n=4$ маємо $7\cdot 4-2=26$, при $n=8$ — $54$. Загальний вигляд: $7n\equiv 2(\mathrm{mod}10)$. Оскільки $7\cdot 6=42\equiv 2$, то $n=6+10k$. Для $n=6$: $a_6=40$ (закінчується на 0).

2. б) Перевіряємо ділятьність на 13: $7n-2\equiv 0(\mathrm{mod}13)\Rightarrow 7n\equiv 2(\mathrm{mod}13)$. Множник 7 обертається за модулем 13 як 2 (оскільки $7\cdot 2=14\equiv 1$). Отже, $n\equiv 2\cdot 2=4(\mathrm{mod}13)$. При $n=4$: $a_4=26$, що ділиться на 13.

3. в) Шукаємо числа, парні ($7n-2$ завжди парне, оскільки $7n$ і $2$ мають різну парність тільки якщо $n$ непарне? Ні: $7n-2$ парне $\iff 7n$ парне $\iff n$ парне). Нехай $n=2k$. Тоді $a_n=14k-2$. Перевіримо ділятьність на 3: $14k-2\equiv k+1(\mathrm{mod}3)$. Щоб не ділилося на 3, треба $k+1\not\equiv 0$, тобто $k\not\equiv 2$. Візьмемо $n=2$ ($k=1$): $a_2=12$ (ділиться на 2 і на 3). Візьмемо $n=4$: $a_4=26$ (ділиться на 2, не ділиться на 3).

4. г) Розглядаємо рівняння $7n-2=27k+1\Rightarrow 7n=27k+3$. Шукаємо найменше натуральне розв'язання. Спробуємо $k=0\Rightarrow n=3/7$ (не ціле). $k=1\Rightarrow 7n=30$. $k=2\Rightarrow 7n=57$. $k=3\Rightarrow 7n=84\Rightarrow n=12$. Перевірка: $a_{12}=7\cdot 12-2=82$. $82=27\cdot 3+1$.

Розв’язання

1. Запишемо рівність: $7k-1=8p+3\Rightarrow 7k=8p+4$.

2. Шукаємо найменші натуральні розв'язки. Оскільки $7k$ ділиться на 7, то $(8p+4)$ має ділитися на 7.

3. Перевіряємо значення $p$:
   - $p=1\Rightarrow 8\cdot 1+4=12$ (не ділиться на 7).
   - $p=2\Rightarrow 8\cdot 2+4=20$.
   - $p=3\Rightarrow 8\cdot 3+4=28=7\cdot 4$. Знайшли розв'язок!

4. Для $p=3$ маємо $k=4$. Перевірка: $a_4=7\cdot 4-1=27$, $c_3=8\cdot 3+3=27$.

Розв’язання

1. а) $a_n=9n-10$. Це лінійна функція з додатним коефіцієнтом при $n$ ($k=9>0$). Отже, послідовність зростаюча.

2. б) $b_n=10-9n$. Коефіцієнт при $n$ від'ємний ($-9<0$). Послідовність спадна.

3. в) $c_n=5-n^2$. Старший коефіцієнт при $n^2$ від'ємний ($-1<0$). Параболічна функція, що падає для $n>0$. Послідовність спадна.

4. г) $x_n=\frac{1}{n^2+1}$. Знаменник зростає ($n^2+1$), тому дріб стає меншим при збільшенні $n$. Послідовність спадна.

5. ґ) $z_n=n^2+2n-3$. Старший коефіцієнт додатний, а вершина параболу знаходиться за межами натуральних чисел (або просто монотонно зростає для $n\ge 1$). Послідовність зростаюча.

6. д) $y_n=\frac{3n+4}{n+2}$. Спростимо: $\frac{3(n+2)-2}{n+2}=3-\frac{2}{n+2}$. Дріб $\frac{2}{n+2}$ спадає, тому віднімання його дає зростання. Послідовність зростаюча.

Розв’язання

1. Запишемо формулу для наступного члена послідовності, замінивши $n$ на $n+1$: $a_{n+1}=8(n+1)-7$.

2. Розкриємо дужки та спростимо вираз: $a_{n+1}=8n+8-7=8n+1$.

3. Порівняємо $a_{n+1}$ з $a_n$: оскільки $8n+1>8n-7$ (різниця дорівнює 8, що більше за 0), то $a_{n+1}>a_n$.

Розв’язання

1. Запишемо вираз для $a_{n+1}$: $a_{n+1}=\frac{(n+1)+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}$.

2. Спростимо дріб, розділивши чисельник і знаменник на $(n+1)$: $a_{n+1}=\frac{n+1+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$.

3. Спростимо вираз для $a_n$: $a_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$. Оскільки при збільшенні $n$ дріб $\frac{1}{n}$ зменшується, то $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$, отже $a_{n+1}<a_n$.

Розв’язання

1. а) Для $a_n=-n^2+6n-5$ коефіцієнти $a=-1,b=6$. Вершина знаходиться при $n=-\frac{6}{2\cdot (-1)}=3$. Підставимо $n=3$: $a_3=6\cdot 3-3^2-5=18-9-5=4$.

2. б) Для $a_n=-n^2+2n+3$ коефіцієнти $a=-1,b=2$. Вершина знаходиться при $n=-\frac{2}{2\cdot (-1)}=1$. Підставимо $n=1$: $a_1=-1^2+2\cdot 1+3=-1+2+3=4$.

Розв’язання

1. Для пункту а): Розв'яжемо рівняння $n^2-35=0$. Корені: $n_1=\sqrt{35}\approx 5,9$, $n_2=-\sqrt{35}\approx -5,9$. Оскільки номер члена $n$ має бути натуральним ($n\in \mathbb{N}$), розглядаємо проміжок між коренями: $-5,9<n<5,9$. Натуральні числа в цьому проміжку: $1,2,3,4,5$.

2. Знайдемо значення $a_n$ для найближчих до нуля коренів, тобто для $n=5$ і $n=6$ (хоча $6$ вже дасть додатне). Обчислимо $a_5=5^2-35=25-35=-10$. Перевіримо наступне натуральне число $n=6$: $a_6=6^2-35=36-35=1$ (додатне). Отже, найбільшим від'ємним є $a_5=-10$.

3. Для пункту б): Розв'яжемо рівняння $0,25n^2-10,75=0$. Помножимо на 4: $n^2-43=0\Rightarrow n=\sqrt{43}\approx 6,56$. Натуральні числа, для яких функція від'ємна: $1,2,3,4,5,6$. Найбільше з них — $n=6$.

4. Обчислимо значення для $n=6$: $a_6=0,25\cdot 36-10,75=9-10,75=-1,75$. Перевіримо наступне число $n=7$: $a_7=0,25\cdot 49-10,75=12,25-10,75=1,5$ (додатне). Отже, найбільший від'ємний член — $-1,75$.

Розв’язання

1. Визначимо номери членів: $a_1=9,a_2=4,a_3=1,a_4=0,a_5=1,a_6=4,a_7=9$.

2. Оскільки послідовність симетрична і має мінімум у нуль, спробуємо формулу виду $a_n=k(n-4{)}^2$. Підставимо $n=3$: $a_3=k(3-4{)}^2=k\cdot 1=1\Rightarrow k=1$.

3. Перевіримо отриману формулу $a_n=(n-4{)}^2$ для інших членів:
   - $n=2\Rightarrow (2-4{)}^2=(-2{)}^2=4$ (відповідає).
   - $n=1\Rightarrow (1-4{)}^2=(-3{)}^2=9$ (відповідає).
   - $n=5\Rightarrow (5-4{)}^2=1$ (відповідає).

4. Отже, одна з можливих формул: $a_n=(n-4{)}^2$. Розкриємо дужки: $a_n=n^2-8n+16$.

Розв’язання

1. Пункт а) $2,5,8,\dots$: Різниця $5-2=3$, $8-5=3$. Це арифметична прогресія з першим членом $a_1=2$ і різницею $d=3$. Формула: $a_n=2+(n-1)\cdot 3=3n-1$.

2. Пункт б) $2,4,8,\dots$: Відношення $4/2=2$, $8/4=2$. Це геометрична прогресія з $a_1=2$ і знаменником $q=2$. Формула: $a_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$.

3. Пункт в) $1,-1,1,\dots$: Члени чергуються між $1$ і $-1$. Це можна записати як $(-1{)}^{n+1}\cdot 1$. Формула: $a_n=(-1{)}^{n+1}$.

4. Пункт г) $1,0,1,\dots$: Члени чергуються між $1$ і $0$. Можна спробувати формулу через синус або подвійний знак. Наприклад, $a_n=\frac{1+(-1{)}^{n+1}}{2}$. Перевірка: $n=1\Rightarrow (1+1)/2=1$; $n=2\Rightarrow (1-1)/2=0$.

5. Пункт ґ) $0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\dots$: Дроби мають вигляд $\frac{n-1}{n}$ для $n\ge 1$ (для $n=1$ отримуємо $0/1=0$, що підходить). Формула: $a_n=\frac{n-1}{n}$.

6. Пункт д) $2,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\dots$: Перший член $2=\frac{3}{2}$? Ні, перший $2$, другий $\frac{3}{2}$. Запишемо як $\frac{n+1}{n}$ для $n=1$ отримуємо $2/1=2$, для $n=2$ отримуємо $3/2$. Формула: $a_n=\frac{n+1}{n}$.

Розв’язання

1. а) Різниця між сусідніми членами ($5-2=3,8-5=3$) стала і дорівнює 3. Перший член при $n=1$ дорівнює 2. Формула: $a_n=3n-1$.

2. б) Кожний наступний член у 2 рази більший за попередній ($4/2=2,8/4=2$). Це геометрична прогресія з першим членом 2 і знаменником 2. Формула: $a_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$.

3. в) Члени чергуються між 1 та -1 ($1,-1,1$). Це знак мінус у степені. Формула: $a_n=(-1{)}^{n+1}$.

4. г) Члени чергуються між 1 та 0 ($1,0,1$). При парних номерах значення 0, при непарних — 1. Формула: $a_n=\frac{1+(-1{)}^{n+1}}{2}$.

5. ґ) Дріби мають вигляд $\frac{n}{n^2}$? Ні, дивимось уважніше: $0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\dots$. Чисельник збігається з номером члена ($0$ при $n=1$? Ні, тут перший член 0, другий $\frac{1}{2}$). Перепишемо ряд: $0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\dots$. Для $n=1$ маємо 0. Для $n=2$ маємо $\frac{1}{2}$. Для $n=3$ маємо $\frac{2}{3}$. Загальний вигляд: чисельник $n-1$, знаменник $n$. Формула: $a_n=\frac{n-1}{n}$.

6. д) Дріби: $2,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\dots$. Перепишемо як $\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{4}{3}$. Чисельник дорівнює $n+1$, знаменник — $n$. Формула: $a_n=\frac{n+1}{n}$.

Розв’язання

1. Перший член ($n=1$): сума перших 1 числа — це 1. Формула суми дає $\frac{1(1+1)}{2}=1$. Збігається.

2. Другий член ($n=2$): сума $1+2=3$. Формула: $\frac{2(1+2)}{2}=3$. Збігається.

3. Третій член ($n=3$): сума $1+2+3=6$. Формула: $\frac{3(1+3)}{2}=6$. Збігається.

4. Загальний випадок: Сума перших $n$ натуральних чисел дорівнює $\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$. Це і є формула $n$-го члена трикутної послідовності.

Розв’язання

1. Якщо $n$ — непарне число (наприклад, $n=1,3,5$), то $(-1{)}^n=-1$. Тоді вираз дорівнює $1+(-1)=0$. Це відповідає першому, третьому і наступним непарним членам послідовності.

2. Якщо $n$ — парне число (наприклад, $n=2,4,6$), то $(-1{)}^n=1$. Тоді вираз дорівнює $1+1=2$. Це відповідає другому, четвертому і наступним парним членам.

3. Отже, формула дає чергування чисел $0$ та $2$, що повністю збігається з умовою задачі ($0,2,0,2\dots$).