ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 161

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 778–789 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 15. Послідовність Sequence

Завдання 778

Формула послідовності з остачею

Знайти формулу $n$ -го члена послідовності натуральних чисел, які при діленні на $7$ дають остачу $3$ .

Розв’язання

Перше число, яке при діленні на 7 дає остачу 3, це саме 3 ( $3 < 7$ ). Отже, $a_{1} = 3$ .
Різниця між сусідніми членами дорівнює знаменнику — 7.
Формула арифметичної прогресії: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ . Підставимо значення: $a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 7 = 3 + 7 n - 7 = 7 n - 4$ .

Відповідь:

$a_{n} = 7 n - 4$

Завдання 779

Трикутні числа

Дано послідовність трикутних чисел: $1, 3, 6, 10, 15, \dots$ . Потрібно знайти та зобразити три наступні члени цієї посллідовності.

Розв’язання

Знайдемо різницю між 6-м і 7-м членами. Остання відома різниця була $10 - 6 = 4$ . Наступна різниця має бути $4 + 1 = 5$ .
Знайдемо шостий член: $15 + 5 = 20$ .
Знайдемо сьомий член: додаємо до 20 різницю, яка збільшується на 1 (тепер це 6): $20 + 6 = 26$ .
Знайдемо восьмий член: $26 + 7 = 33$ .

Відповідь:

Наступні три члени: $20, 26, 33$ . (Зображення: трикутник з 5 рядками має 15 кульок, наступний — 6 рядків із 20 кульками тощо).

Завдання 780

Послідовність квадратних чисел

Дізнатися назву послідовності для фігур з $1, 4, 9, \dots$ кульок (квадрати), скласти та розв'язати задачу про неї.

Розв’язання

Аналіз малюнка: перший квадрат має 1 рядок (1 куля), другий — 2 рядки (4 кулі), третій — 3 рядки (9 кульок).
Висновок: це послідовність квадратних чисел, де $n$ -й член дорівнює квадрату номера члена ( $n^{2}$ ).
Складання задачі: "У скільки разів кількість кульок у квадратному аркуші з 10 рядками більша за кількість кульок у аркуші з 5 рядками?".
Розв'язання задачі: Знайдемо $a_{10} = 1 0^{2} = 100$ і $a_{5} = 5^{2} = 25$ . Ділимо: $100/25 = 4$ .

Відповідь:

Це послідовність квадратних чисел. Відповідь до прикладної задачі: у 4 рази.

Завдання 781

Знаходження членів рекурентної послідовності

а) $a_{1} = 2$ , $a_{n + 1} = - 2 a_{n}$ ; б) $a_{1} = - 1$ , $a_{2} = 1$ , $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ .

Розв’язання

а) Знаходимо $a_{2} = - 2 \cdot 2 = - 4$ , далі $a_{3} = - 2 \cdot (- 4) = 8$ , $a_{4} = - 2 \cdot 8 = - 16$ , $a_{5} = - 2 \cdot (- 16) = 32$ .
б) Знаходимо $a_{3} = a_{2} + a_{1} = 1 + (- 1) = 0$ , далі $a_{4} = 0 + 1 = 1$ , $a_{5} = 1 + 0 = 1$ , $a_{6} = 1 + 1 = 2$ .

Відповідь:

а) $2, - 4, 8, - 16, 32$ ; б) $- 1, 1, 0, 1, 1$ .

Завдання 782

Знаходження членів рекурентної послідовності

а) $a_{1} = 15$ , $a_{n + 1} = a_{n} - 5$ ; б) $c_{1} = - 2$ , $c_{2} = 3$ , $c_{n + 2} = 2 c_{n} + c_{n + 1}$ .

Розв’язання

а) Знаходимо $a_{2} = 15 - 5 = 10$ , $a_{3} = 10 - 5 = 5$ , $a_{4} = 5 - 5 = 0$ , $a_{5} = 0 - 5 = - 5$ .
б) Знаходимо $c_{3} = 2 \cdot (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1$ , далі $c_{4} = 2 \cdot 3 + (- 1) = 6 - 1 = 5$ , $c_{5} = 2 \cdot (- 1) + 5 = - 2 + 5 = 3$ .

Відповідь:

а) $15, 10, 5, 0, - 5$ ; б) $- 2, 3, - 1, 5, 3$ .

Завдання 783

Послідовність чисел Фібоначчі

$a_{1} = 1$ , $a_{2} = 1$ , $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ або формула Бінетта.

Розв’язання

Рекурентний спосіб: $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 1$ , $a_{3} = 1 + 1 = 2$ , $a_{4} = 2 + 1 = 3$ , $a_{5} = 3 + 2 = 5$ .
Формула Бінетта: для $n = 1$ отримуємо 1, для $n = 2$ — 1, для $n = 3$ — 2, для $n = 4$ — 3, для $n = 5$ — 5.

Відповідь:

Перші п'ять членів послідовності однакові обома способами: $1, 1, 2, 3, 5$ .

Завдання 784

Знаходження членів арифметичної послідовності

Дано послідовність $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ , де перший член $a_{1} = - 5$ і різниця між сусідніми членами дорівнює 3 ( $a_{n + 1} - a_{n} = 3$ ). Потрібно знайти значення $a_{2}, a_{5}, a_{10}$ .

Розв’язання

Знайдемо загальну формулу послідовності: $a_{n} = - 5 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n - 8$ .
Обчислимо потрібні члени:
$a_{2} = 3 \cdot 2 - 8 = - 2$ ;
$a_{5} = 3 \cdot 5 - 8 = 7$ ;
$a_{10} = 3 \cdot 10 - 8 = 22$ .

Відповідь:

$a_{2} = - 2, a_{5} = 7, a_{10} = 22$ .

Завдання 785

Перевірка чисел на належність послідовності

Дано формулу $n$ -го члена послідовності $a_{n} = 2 n^{2} - 7 n$ . Потрібно визначити, яке з чисел $- 20, - 10, - 5, 4, 9$ є членом цієї послідовності.

Розв’язання

Перевіряємо число $- 5$ :
$2 n^{2} - 7 n = - 5 \Rightarrow 2 n^{2} - 7 n + 5 = 0$ .
Дискримінант $D = 49 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9$ .
Корені: $n_{1} = \frac{7 - 3}{4} = 1$ , $n_{2} = \frac{7 + 3}{4} = 2, 5$ . Оскільки $n = 1$ — натуральне число, то $a_{1} = - 5$ .
Перевіряємо інші числа швидко:
Для $- 20$ : $2 n^{2} - 7 n + 20 = 0$ , $D < 0$ (коренів немає).
Для $- 10$ : $2 n^{2} - 7 n + 10 = 0$ , $D < 0$ .
Для $4$ : $2 n^{2} - 7 n - 4 = 0$ , $D = 49 + 32 = 81$ , корені $\frac{7 \pm 9}{4}$ , одне дробове.
Для $9$ : $2 n^{2} - 7 n - 9 = 0$ , $D = 49 + 72 = 121$ , корені $\frac{7 \pm 11}{4}$ , одне дробове.

Відповідь:

Членом послідовності є число $- 5$ .

Завдання 786

Визначення формули послідовності за значенням члена

Знайти, для якої з наведених формул число $- 12$ є членом послідовності. Варіанти: а) $a_{n} = 7 n^{2} - 11$ , б) $a_{n} = 3 - 5 n$ , в) $a_{n} = 2 n - n^{2} + 3$ , г) $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ , ґ) $a_{n} = n - n^{2}$ , д) $a_{n} = \frac{5 n ^{2} + 4}{1 - 2 n}$ .

Розв’язання

Варіант б) $a_{n} = 3 - 5 n$ :
$3 - 5 n = - 12 \Rightarrow - 5 n = - 15 \Rightarrow n = 3$ . Це натуральне число, отже, це підходить.
Перевіримо інші варіанти для впевненості:
а) $7 n^{2} - 11 = - 12 \Rightarrow 7 n^{2} = - 1$ (неможливо).
в) $2 n - n^{2} + 3 = - 12 \Rightarrow n^{2} - 2 n - 15 = 0 \Rightarrow (n - 5) (n + 3) = 0$ . Корені $5, - 3$ . Натуральний корінь $n = 5$ . Це також підходить.
ґ) $n - n^{2} = - 12 \Rightarrow n^{2} - n - 12 = 0 \Rightarrow (n - 4) (n + 3) = 0$ . Корені $4, - 3$ . Натуральний корінь $n = 4$ . Це також підходить.
г) $\frac{n + 1}{n} = - 12 \Rightarrow n + 1 = - 12 n \Rightarrow 13 n = - 1$ (неможливо).
д) $\frac{5 n ^{2} + 4}{1 - 2 n} = - 12 \Rightarrow 5 n^{2} + 4 = - 12 + 24 n \Rightarrow 5 n^{2} - 24 n + 16 = 0$ . $D = 576 - 320 = 256$ , $D = 16$ . Корені $\frac{24 \pm 16}{10}$ : $4$ і $0, 8$ . Натуральний корінь $n = 4$ . Це також підходить.

Відповідь:

Число $- 12$ є членом послідовностей з формулами б), в), ґ) та д).

Завдання 787

Нерівності для членів послідовності

а) $a_{n} = 3 n + 1$ більші за 50;
б) $a_{n} = n^{2} - 5$ більші за 220.

Розв’язання

а) Складемо нерівність: $3 n + 1 > 50$ . Віднімемо 1 від обох частин: $3 n > 49$ . Поділимо на 3: $n > \frac{49}{3} = 16 \frac{1}{3}$ . Отже, $n$ має бути цілим числом більше за 16.
б) Складемо нерівність: $n^{2} - 5 > 220$ . Додамо 5 до обох частин: $n^{2} > 225$ . Знайдемо корінь з 225: $225 = 15$ . Оскільки квадрат позитивного числа завжди додатний, маємо дві нерівності: $n > 15$ або $n < - 15$ .

Відповідь:

а) починаючи з номера 17; б) починаючи з номера 16 (для натуральних чисел).

Завдання 788

Знаходження номерів членів за умовою меншості або більшості

а) $a_{n} = 200 - 3 n$ менші за 12;
б) $a_{n} = n^{2} - n$ не менші за 110.

Розв’язання

а) Нерівність: $200 - 3 n < 12$ . Переносимо $- 3 n$ у праву частину: $200 - 12 < 3 n$ , тобто $188 < 3 n$ . Ділимо на 3: $n > \frac{188}{3} = 62 \frac{2}{3}$ .
б) Розглянемо рівняння $n^{2} - n - 110 = 0$ . Знайдемо дискримінант: $D = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 110) = 1 + 440 = 441$ . Корені: $n_{1, 2} = \frac{1 \pm 441}{2} = \frac{1 \pm 21}{2}$ . Отримуємо $n_{1} = 11$ і $n_{2} = - 10$ . Оскільки послідовність складається з натуральних чисел, розглядаємо проміжок між коренями. Функція $y = n^{2} - n$ зростає при $n > 0.5$ , тому значення більше за 110 при $n \geq 11$ .

Відповідь:

а) починаючи з номера 63; б) починаючи з номера 11.

Завдання 789

Знаходження проміжку номерів членів послідовності

а) $a_{n} = 3 n - 5$ більші за 40, але менші за 150;
б) $b_{n} = 200 - 2 n$ більші за 50, але менші за 170.

Розв’язання

а) Розв'язуємо першу нерівність: $3 n - 5 > 40 \Rightarrow 3 n > 45 \Rightarrow n > 15$ . Друга нерівність: $3 n - 5 < 150 \Rightarrow 3 n < 155 \Rightarrow n < 51 \frac{2}{3}$ . Перетин проміжків: $15 < n < 51 \frac{2}{3}$ .
б) Розв'язуємо першу нерівність: $200 - 2 n > 50 \Rightarrow 150 > 2 n \Rightarrow n < 75$ . Друга нерівність: $200 - 2 n < 170 \Rightarrow 30 < 2 n \Rightarrow n > 15$ . Перетин проміжків: $15 < n < 75$ .

Відповідь:

а) номери членів від 16 до 51 включно; б) номери членів від 16 до 74 включно.