ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 160

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 762–777 · 16 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 15. Послідовність Sequence

Завдання 762

Гра з числовими послідовностями

Один учасник записує формулу числової послідовності, а інші троє записують відповідно перший, другий і третій член цієї послідовності. Потім учасники міняються ролями.

Розв’язання

Учасник А пише формулу, наприклад, $a_{n} = 2 n - 1$ .
Інші учасники підставляють $n = 1, 2, 3$ і отримують відповідно $1, 3, 5$ .
Після запису учасники міняються ролями: той, хто писав формулу, тепер пише числа, а інший — придумує нову формулу.

Відповідь:

Гра проводиться циклічно: кожен учасник чергує роль автора правила та виконавця обчислень для перших трьох членів послідовності.

Завдання 763

Знаходження членів послідовності за формулою

Дано послідовність, $n$ -й член якої задається формулою $a_{n} = n^{2} - 1$ . Потрібно знайти значення $a_{10}$ , $a_{20}$ та $a_{100}$ .

Розв’язання

Знаходимо $a_{10}$ , підставивши $n = 10$ : $a_{10} = 1 0^{2} - 1 = 100 - 1 = 99$ .
Знаходимо $a_{20}$ , підставивши $n = 20$ : $a_{20} = 2 0^{2} - 1 = 400 - 1 = 399$ .
Знаходимо $a_{100}$ , підставивши $n = 100$ : $a_{100} = 10 0^{2} - 1 = 10000 - 1 = 9999$ .

Відповідь:

$a_{10} = 99$ , $a_{20} = 399$ , $a_{100} = 9999$ .

Завдання 764

Обчислення членів послідовності за лінійною формулою

Послідовність задана формулою $a_{n} = 2 n + 3$ . Потрібно знайти значення для пунктів: а) $a_{3}$ ; б) $a_{6}$ ; в) $a_{15}$ ; г) $a_{100}$ .

Розв’язання

а) Для $a_{3}$ підставляємо $n = 3$ : $a_{3} = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$ .
б) Для $a_{6}$ підставляємо $n = 6$ : $a_{6} = 2 \cdot 6 + 3 = 12 + 3 = 15$ .
в) Для $a_{15}$ підставляємо $n = 15$ : $a_{15} = 2 \cdot 15 + 3 = 30 + 3 = 33$ .
г) Для $a_{100}$ підставляємо $n = 100$ : $a_{100} = 2 \cdot 100 + 3 = 200 + 3 = 203$ .

Відповідь:

а) $9$ ; б) $15$ ; в) $33$ ; г) $203$ .

Завдання 765

Знаходження члена послідовності за формулою

Знайти тридцятий член ( $n = 30$ ) для послідовностей з формулами: а) $a_{n} = 2 n + 7$ ; б) $b_{n} = 2 n^{2} - n$ ; в) $c_{n} = (- 1)^{n} + 3$ ; г) $x_{n} = 0, 5^{n} (n + 1)$ .

Розв’язання

а) Підставляємо $n = 30$ : $a_{30} = 2 \cdot 30 + 7 = 60 + 7 = 67$ .
б) Підставляємо $n = 30$ : $b_{30} = 2 \cdot 3 0^{2} - 30 = 2 \cdot 900 - 30 = 1800 - 30 = 1770$ .
в) Підставляємо $n = 30$ : $c_{30} = (- 1)^{30} + 3$ . Оскільки степінь парний, $(- 1)^{30} = 1$ , отже $1 + 3 = 4$ .
г) Спочатку обчислюємо $0, 5^{30}$ , потім множимо на $(30 + 1) = 31$ . Зручніше записати $0, 5 = \frac{1}{2}$ : $x_{30} = \frac{1}{2 ^{30}} \cdot 31 = \frac{31}{2 ^{30}}$ .

Відповідь:

а) $67$ ; б) $1770$ ; в) $4$ ; г) $\frac{31}{2 ^{30}}$ .

Завдання 766

Знаходження членів послідовності за степенем двійки

Знайти шостий ( $n = 6$ ), восьмий ( $n = 8$ ) і десятий ( $n = 10$ ) члени послідовності, заданої формулою $b_{n} = 2^{n}$ .

Розв’язання

Шостий член: $b_{6} = 2^{6} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$ .
Восьмий член: $b_{8} = 2^{8} = 256$ (оскільки $2^{6} = 64$ , то $2^{7} = 128, 2^{8} = 256$ ).
Десятий член: $b_{10} = 2^{10} = 1024$ (оскільки $2^{8} = 256$ , то $2^{9} = 512, 2^{10} = 1024$ ).

Відповідь:

шостий член — $64$ , восьмий член — $256$ , десятий член — $1024$ .

Завдання 767

Задача на розсадку гостей за столами

У ресторані є прямокутні столи, які можна зсувати. Потрібно знайти формулу кількості людей, що можуть сісти при $n$ зсунутих столах, і обчислити кількість людей для $n = 7$ .

Розв’язання

Аналізуємо малюнок: при $n = 1$ місць $4$ ; при $n = 2$ місць $6$ ; при $n = 3$ місць $8$ .
Кількість місць збільшується на $2$ для кожного нового столу. Формула має вигляд $4 + 2 (n - 1)$ або спрощено $2 n + 2$ . Перевіримо: при $n = 1 \to 2 \cdot 1 + 2 = 4$ ; при $n = 2 \to 2 \cdot 2 + 2 = 6$ . Формула вірна.
Підставляємо $n = 7$ у формулу: $2 \cdot 7 + 2 = 14 + 2 = 16$ .

Відповідь:

Формула кількості людей — $2 n + 2$ . Якщо зсунути $7$ столів, сісти може $16$ людей.

Завдання 768

Послідовність квадратів натуральних чисел

Написати кілька перших членів послідовності, де кожен наступний — квадрат наступного натурального числа ( $1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \dots$ ). Визначити загальну формулу $n$ -го члена.

Розв’язання

Запишемо перші натуральні числа: $1, 2, 3, 4, 5$ .
Знайдемо їхні квадрати: $1 \cdot 1 = 1$ , $2 \cdot 2 = 4$ , $3 \cdot 3 = 9$ , $4 \cdot 4 = 16$ , $5 \cdot 5 = 25$ .
Отримаємо послідовність: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ .
Запишемо формулу для $n$ -го члена як квадрат номера члена: $a_{n} = n^{2}$ .

Відповідь:

Перші члени: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ ; $n$ -й член: $a_{n} = n^{2}$ .

Завдання 769

Послідовність кубів натуральних чисел

Написати кілька перших членів послідовності, де кожен наступний — куб наступного натурального числа ( $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, \dots$ ). Визначити загальну формулу $n$ -го члена.

Розв’язання

Запишемо перші натуральні числа: $1, 2, 3, 4, 5$ .
Знайдемо їхні куби: $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ , $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ , $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ , $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ , $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ .
Отримаємо послідовність: $1, 8, 27, 64, 125, \dots$ .
Запишемо формулу для $n$ -го члена як куб номера члена: $a_{n} = n^{3}$ .

Відповідь:

Перші члени: $1, 8, 27, 64, 125, \dots$ ; $n$ -й член: $a_{n} = n^{3}$ .

Завдання 770

Послідовність чисел, кратних 3

Написати кілька перших членів послідовності натуральних чисел, які діляться на 3 без остачі. Обчислити сороковий член цієї послідовності.

Розв’язання

Знайдемо перші числа, кратні 3: $3 \cdot 1 = 3$ , $3 \cdot 2 = 6$ , $3 \cdot 3 = 9$ , $3 \cdot 4 = 12$ .
Запишемо послідовність: $3, 6, 9, 12, \dots$ .
Запишемо формулу для $n$ -го члена: $a_{n} = 3 n$ .
Обчислимо сороковий член, підставивши $n = 40$ : $a_{40} = 3 \cdot 40 = 120$ .

Відповідь:

Перші члени: $3, 6, 9, 12, \dots$ ; сороковий член: $120$ .

Завдання 771

Скінченна послідовність за формулою

а) Знайти перші члени послідовності $a_{n} = 4 n - 3$ , де $1 \leq n \leq 8$ .
б) Знайти перші члени послідовності $b_{n} = \frac{n}{n + 1}$ , де $1 \leq n \leq 10$ .

Розв’язання

Для пункту а): Підставляємо $n = 1, 2, \dots, 8$ у формулу $a_{n} = 4 n - 3$ :
$a_{1} = 4 \cdot 1 - 3 = 1$ ;
$a_{2} = 4 \cdot 2 - 3 = 5$ ;
$a_{3} = 4 \cdot 3 - 3 = 9$ ;
$a_{4} = 4 \cdot 4 - 3 = 13$ ;
$a_{5} = 4 \cdot 5 - 3 = 17$ ;
$a_{6} = 4 \cdot 6 - 3 = 21$ ;
$a_{7} = 4 \cdot 7 - 3 = 25$ ;
$a_{8} = 4 \cdot 8 - 3 = 29$ .
Для пункту б): Підставляємо $n = 1, 2, \dots, 10$ у формулу $b_{n} = \frac{n}{n + 1}$ :
$b_{1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ ;
$b_{2} = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$ ;
$b_{3} = \frac{3}{3 + 1} = \frac{3}{4}$ ;
$b_{4} = \frac{4}{4 + 1} = \frac{4}{5}$ ;
$b_{5} = \frac{5}{5 + 1} = \frac{5}{6}$ ;
$b_{6} = \frac{6}{6 + 1} = \frac{6}{7}$ ;
$b_{7} = \frac{7}{7 + 1} = \frac{7}{8}$ ;
$b_{8} = \frac{8}{8 + 1} = \frac{8}{9}$ ;
$b_{9} = \frac{9}{9 + 1} = \frac{9}{10}$ ;
$b_{10} = \frac{10}{10 + 1} = \frac{10}{11}$ .

Відповідь:

а) $1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29$ ; б) $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}, \frac{7}{8}, \frac{8}{9}, \frac{9}{10}, \frac{10}{11}$ .

Завдання 772

Скінченна послідовність за формулою

а) Знайти перші члени послідовності $c_{n} = n^{2} + 2 n$ , де $1 \leq n \leq 8$ .
б) Знайти перші члени послідовності $y_{n} = 2^{n} + 1$ , де $1 \leq n \leq 7$ .

Розв’язання

Для пункту а): Підставляємо $n = 1, 2, \dots, 8$ у формулу $c_{n} = n^{2} + 2 n$ :
$c_{1} = 1^{2} + 2 \cdot 1 = 3$ ;
$c_{2} = 2^{2} + 2 \cdot 2 = 8$ ;
$c_{3} = 3^{2} + 2 \cdot 3 = 15$ ;
$c_{4} = 4^{2} + 2 \cdot 4 = 24$ ;
$c_{5} = 5^{2} + 2 \cdot 5 = 35$ ;
$c_{6} = 6^{2} + 2 \cdot 6 = 48$ ;
$c_{7} = 7^{2} + 2 \cdot 7 = 63$ ;
$c_{8} = 8^{2} + 2 \cdot 8 = 80$ .
Для пункту б): Підставляємо $n = 1, 2, \dots, 7$ у формулу $y_{n} = 2^{n} + 1$ :
$y_{1} = 2^{1} + 1 = 3$ ;
$y_{2} = 2^{2} + 1 = 5$ ;
$y_{3} = 2^{3} + 1 = 9$ ;
$y_{4} = 2^{4} + 1 = 17$ ;
$y_{5} = 2^{5} + 1 = 33$ ;
$y_{6} = 2^{6} + 1 = 65$ ;
$y_{7} = 2^{7} + 1 = 129$ .

Відповідь:

а) $3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80$ ; б) $3, 5, 9, 17, 33, 65, 129$ .

Завдання 773

Різниця двох членів послідовності

Дано послідовність з формулою $n$ -го члена $a_{n} = 5 n + 8$ . Потрібно знайти, на скільки двадцятий член більший за дев'ятнадцятий ( $a_{20} - a_{19}$ ).

Розв’язання

Знайдемо загальну різницю між сусідніми членами послідовності:
$a_{n + 1} - a_{n} = (5 (n + 1) + 8) - (5 n + 8) = 5 n + 5 + 8 - 5 n - 8 = 5$ .
Отже, кожен наступний член більший за попередній на 5.
Перевіримо обчислення для конкретних чисел $n = 19$ :
$a_{19} = 5 \cdot 19 + 8 = 95 + 8 = 103$ ;
$a_{20} = 5 \cdot 20 + 8 = 100 + 8 = 108$ ;
Різниця: $108 - 103 = 5$ .

Відповідь:

Двадцятий член більший за дев'ятнадцятий на 5.

Завдання 774

Порівняння членів послідовності

Дано послідовність, $n$ -й член якої $a_{n} = n \cdot 3^{n}$ . Потрібно знайти, у скільки разів її двадцятий член більший від вісімнадцятого.

Розв’язання

Знайдемо двадцятий член послідовності, підставивши $n = 20$ у формулу: $a_{20} = 20 \cdot 3^{20}$ .
Знайдемо вісімнадцятий член послідовності, підставивши $n = 18$ у формулу: $a_{18} = 18 \cdot 3^{18}$ .
Обчислимо відношення цих чисел: $\frac{20 \cdot 3 ^{20}}{18 \cdot 3 ^{18}} = \frac{20}{18} \cdot \frac{3 ^{20}}{3 ^{18}}$ .
Спростимо дріб $\frac{20}{18}$ до $\frac{10}{9}$ , а степені числа 3 скоротимо: $\frac{3 ^{20}}{3 ^{18}} = 3^{20 - 18} = 3^{2} = 9$ .
Помножимо отримані значення: $\frac{10}{9} \cdot 9 = 10$ .

Відповідь:

Двадцятий член у 10 разів більший за вісімнадцятий.

Завдання 775

Перевірка формули послідовності

Чи правильно, що $a_{n} = 5 n - 3$ — формула $n$ -го члена послідовності натуральних чисел, які при діленні на 5 дають остачу 2?

Розв’язання

Знайдемо перше число послідовності натуральних чисел, які при діленні на 5 дають остачу 2. Це число 2 (оскільки $2 = 5 \cdot 0 + 2$ , але за умовою числа натуральні, тому беремо найменше додатне: $2$ ).
Підставимо $n = 1$ у запропоновану формулу: $a_{1} = 5 \cdot 1 - 3 = 2$ .
Перевіримо наступний член ( $n = 2$ ): за умовою це має бути число, яке дає остачу 2 при діленні на 5, наступне після 2 — це 7. За формулою: $a_{2} = 5 \cdot 2 - 3 = 10 - 3 = 7$ .
Перевіримо загальний вигляд: $5 n - 3 = 5 n - 5 + 2 = 5 (n - 1) + 2$ . Оскільки $n$ — натуральне, то $n - 1 \geq 0$ , отже $5 (n - 1)$ ділиться на 5, а доданок $+ 2$ дає остачу 2.

Відповідь:

Так, правильно.

Завдання 776

Аналіз зростаючості послідовності

Перший член послідовності дорівнює 7, а кожний наступний на 2 більший від попереднього. Потрібно написати кілька перших членів і визначити, чи зростаюча вона, чи спадна.

Розв’язання

Перший член $a_{1} = 7$ .
Другий член $a_{2} = 7 + 2 = 9$ .
Третій член $a_{3} = 9 + 2 = 11$ .
Четвертий член $a_{4} = 11 + 2 = 13$ .
Порівнюємо числа: $7 < 9 < 11 < 13 < \dots$ . Оскільки кожне наступне число більше за попереднє, послідовність зростає.

Відповідь:

Перші члени: 7, 9, 11, 13, 15…; послідовність зростаюча.

Завдання 777

Арифметична прогресія англійською

Перший член послідовності дорівнює 5, а кожен наступний член на 3 менший за попередній. Треба записати кілька перших членів і визначити, чи зростає, чи спадає ця послідовність.

Розв’язання

Перший член $a_{1} = 5$ .
Другий член $a_{2} = 5 - 3 = 2$ .
Третій член $a_{3} = 2 - 3 = - 1$ .
Четвертий член $a_{4} = - 1 - 3 = - 4$ .
П'ятий член $a_{5} = - 4 - 3 = - 7$ .
Порівнюємо сусідні числа: $2 < 5$ , $- 1 < 2$ , $- 4 < - 1$ тощо, отже кожен наступний член менший за попередній.

Відповідь:

Перші члени послідовності: $5, 2, - 1, - 4, - 7, \dots$ . Послідовність спадна.