ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 159

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 752–761 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 15. Послідовність Sequence

Завдання 752

Числа протилежні натуральним

Назвати 5 перших членів послідовності чисел, протилежних до натуральних.

Розв’язання

Перше натуральне число — $1$ , його протилежне — $- 1$ .
Друге натуральне число — $2$ , його протилежне — $- 2$ .
Третє натуральне число — $3$ , його протилежне — $- 3$ .
Четверте натуральне число — $4$ , його протилежне — $- 4$ .
П'яте натуральне число — $5$ , його протилежне — $- 5$ .

Відповідь:

$- 1, - 2, - 3, - 4, - 5$

Завдання 753

Перші прості числа

Назвати 5 перших членів послідовності простих чисел.

Розв’язання

Число $2$ ділиться лише на $1$ і $2$ , отже, просте.
Число $3$ ділиться лише на $1$ і $3$ , отже, просте.
Число $4$ ділиться на $2$ , отже, складене.
Число $5$ ділиться лише на $1$ і $5$ , отже, просте.
Число $6$ ділиться на $2$ і $3$ , отже, складене.
Число $7$ ділиться лише на $1$ і $7$ , отже, просте.
Число $8$ ділиться на $2$ і $4$ , отже, складене.
Число $9$ ділиться на $3$ , отже, складене.
Число $11$ ділиться лише на $1$ і $11$ , отже, просте.

Відповідь:

$2, 3, 5, 7, 11$

Завдання 754

Продовження числових послідовностей

Продовжити послідовність натуральних чисел за заданим правилом для кожного підпункту.

Розв’язання

а) Числа діляться на $3$ : $3, 6, 9, 12$ . Різниця між сусідніми числами дорівнює $3$ . Наступні числа: $15, 18, 21, \dots$
б) Числа діляться на $5$ : $5, 10, 15$ . Різниця між сусідніми числами дорівнює $5$ . Наступні числа: $20, 25, 30, \dots$
в) Числа не діляться на $3$ : $1, 2, 4, 5, 7$ . Відкидаємо $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21$ . Наступні числа: $8, 10, 11, 13, \dots$
г) Кожне число на $3$ більше за попереднє: $1, 4, 7$ . Різниця дорівнює $3$ . Наступні числа: $10, 13, 16, \dots$

Відповідь:

а) $15, 18, 21, \dots$ ; б) $20, 25, 30, \dots$ ; в) $8, 10, 11, 13, \dots$ ; г) $10, 13, 16, \dots$

Завдання 755

Аналіз числових послідовностей

Дано три послідовності: а) $1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, \dots$ ; б) $1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, \dots$ ; в) $5, 55, 555, 5555, 55555, 555555, \dots$ . Для кожної потрібно знайти: 1) другий, п'ятий і сьомий члени; 2) наступний за третім; 3) попередній сьомому; 4) члени між другим і шостим.

Розв’язання

Послідовність а): Загальний член $a_{n} = 3^{n - 1}$ .
- Другий ( $n = 2$ ): $3^{1} = 3$ .
- П'ятий ( $n = 5$ ): $3^{4} = 81$ .
- Сьомий ( $n = 7$ ): $3^{6} = 729$ .
- Наступний за третім ( $a_{4}$ ): $3^{3} = 27$ .
- Попередній сьомому ( $a_{6}$ ): $3^{5} = 243$ .
- Між другим і шостим ( $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ ): $9, 27, 81$ .
Послідовність б): Члени чергуються: $1, - 1$ .
- Другий ( $n = 2$ ): $- 1$ .
- П'ятий ( $n = 5$ ): $1$ .
- Сьомий ( $n = 7$ ): $1$ .
- Наступний за третім ( $a_{4}$ ): $- 1$ .
- Попередній сьомому ( $a_{6}$ ): $- 1$ .
- Між другим і шостим ( $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ ): $1, - 1, 1$ .
Послідовність в): Члени складаються з п'ятірок, кількість яких дорівнює номеру члена.
- Другий ( $n = 2$ ): $55$ .
- П'ятий ( $n = 5$ ): $55555$ .
- Сьомий ( $n = 7$ ): $5555555$ .
- Наступний за третім ( $a_{4}$ ): $5555$ .
- Попередній сьомому ( $a_{6}$ ): $555555$ .
- Між другим і шостим ( $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ ): $555, 5555, 55555$ .

Відповідь:

а) 1) $3, 81, 729$ ; 2) $27$ ; 3) $243$ ; 4) $9, 27, 81$ .
б) 1) $- 1, 1, 1$ ; 2) $- 1$ ; 3) $- 1$ ; 4) $1, - 1, 1$ .
в) 1) $55, 55555, 5555555$ ; 2) $5555$ ; 3) $555555$ ; 4) $555, 5555, 55555$ .

Завдання 756

Знаходження члена послідовності за формулою

Дано формулу $n$ -го члена послідовності: $a_{n} = 2 n^{2} - 8 n$ . Потрібно знайти четвертий член ( $a_{4}$ ) і обрати правильну відповідь серед варіантів: А $- 24$ , Б $- 16$ , В $0$ , Г $64$ .

Розв’язання

Підставимо $n = 4$ у формулу: $a_{4} = 2 \cdot 4^{2} - 8 \cdot 4$ .
Обчислимо квадрат числа 4: $4^{2} = 16$ .
Помножимо на 2 та віднімемо добуток: $2 \cdot 16 - 32 = 32 - 32 = 0$ .

Відповідь:

В 0

Завдання 757

Класифікація послідовностей за кількістю членів

Визначити, чи є скінченною чи нескінченною кожна з наведених послідовностей: а) простих чисел; б) чисел, протилежних натуральним; в) правильних дробів зі знаменником 10; г) неправильних дробів зі знаменником 10.

Розв’язання

а) Прості числа: $2, 3, 5, 7, \dots$ . Простих чисел нескінченна кількість (доказ дав Евклід), тому послідовність нескінченна.
б) Числа, протилежні натуральним: Натуральні числа $1, 2, 3, \dots$ нескінченні, отже їхні протилежні ( $- 1, - 2, - 3, \dots$ ) також утворюють нескінченну послідовність.
в) Правильні дріби зі знаменником 10: Це дроби виду $\frac{k}{10}$ , де $k < 10$ . Оскільки натуральних чисел менших за 10 скінченна кількість ( $1, 2, \dots, 9$ ), то таких дробів теж скінченна кількість.
г) Неправильні дроби зі знаменником 10: Це дроби $\frac{k}{10}$ , де $k \geq 10$ . Оскільки натуральних чисел нескінченно багато, то і таких дробів нескінченна кількість.

Відповідь:

а) нескінченна; б) нескінченна; в) скінченна; г) нескінченна.

Завдання 758

Перші члени послідовностей

а) дві цифри від 10 до 99; б) дріби $\frac{10}{d}$ , де $d$ — натуральне число.

Розв’язання

Перелічимо числа від 10, 11, ..., 15.
Складемо дроби $\frac{10}{11}, \frac{10}{12}, \dots, \frac{10}{16}$ .

Відповідь:

а) $10, 11, 12, 13, 14, 15$ ; б) $\frac{10}{11}, \frac{10}{12}, \frac{10}{13}, \frac{10}{14}, \frac{10}{15}, \frac{10}{16}$ .

Завдання 759

Перші члени послідовностей дробів і цифр

а) $\frac{n}{10}$ , де $n > 10$ ; б) розклад числа $π \approx 3, 14159265 \dots$ .

Розв’язання

Складемо дроби $\frac{11}{10}, \frac{12}{10}, \frac{13}{10}, \frac{14}{10}, \frac{15}{10}$ .
Запишемо цифри: $1, 4, 1, 5, 9$ (перші п'ять після коми).

Відповідь:

а) $\frac{11}{10}, \frac{12}{10}, \frac{13}{10}, \frac{14}{10}, \frac{15}{10}$ ; б) $1, 4, 1, 5, 9$ .

Завдання 760

Перші члени послідовностей за формулами

а) $a_{n} = 2 (n - 1)$ ; б) $x_{n} = 12$ ; в) $y_{n} = 3 n + (- 1)^{n}$ ; г) $b_{n} = 1 - n^{2}$ ; д) $c_{n} = 2 n^{2}$ ; е) $Γ_{n} = 1 + (- 1)^{n}$ .

Розв’язання

а) $2 (0) = 0, 2 (1) = 2, 2 (2) = 4, 2 (3) = 6, 2 (4) = 8$ ; б) $12, 12, 12, 12, 12$ ; в) $3 (- 1) + 1 = - 2, 3 (2) - 1 = 5, 3 (3) + 1 = 10, 3 (4) - 1 = 11, 3 (5) + 1 = 16$ ; г) $1 - 1 = 0, 1 - 4 = - 3, 1 - 9 = - 8, 1 - 16 = - 15, 1 - 25 = - 24$ ; д) $2 (1) = 2, 2 (4) = 8, 2 (9) = 18, 2 (16) = 32, 2 (25) = 50$ ; е) $1 + (- 1) = 0, 1 + 1 = 2, 1 - 1 = 0, 1 + 1 = 2, 1 - 1 = 0$ .

Відповідь:

а) $0, 2, 4, 6, 8$ ; б) $12, 12, 12, 12, 12$ ; в) $- 2, 5, 10, 11, 16$ ; г) $0, - 3, - 8, - 15, - 24$ ; д) $2, 8, 18, 32, 50$ ; е) $0, 2, 0, 2, 0$ .

Завдання 761

Знаходження членів послідовності за формулою

Написати сім перших членів послідовності, заданої формулою для кожного випадку: а) $a_{n} = 3 n - 2$ ; б) $a_{n} = n^{2} + 1$ ; в) $a_{n} = 2 - 5 n$ ; г) $a_{n} = n^{2} - n$ .

Розв’язання

а) Підставимо $n = 1, 2, \dots, 7$ у формулу $a_{n} = 3 n - 2$ :
$a_{1} = 3 \cdot 1 - 2 = 1$ ;
$a_{2} = 3 \cdot 2 - 2 = 4$ ;
$a_{3} = 3 \cdot 3 - 2 = 7$ ;
$a_{4} = 3 \cdot 4 - 2 = 10$ ;
$a_{5} = 3 \cdot 5 - 2 = 13$ ;
$a_{6} = 3 \cdot 6 - 2 = 16$ ;
$a_{7} = 3 \cdot 7 - 2 = 19$ .
б) Підставимо $n = 1, 2, \dots, 7$ у формулу $a_{n} = n^{2} + 1$ :
$a_{1} = 1^{2} + 1 = 2$ ;
$a_{2} = 2^{2} + 1 = 5$ ;
$a_{3} = 3^{2} + 1 = 10$ ;
$a_{4} = 4^{2} + 1 = 17$ ;
$a_{5} = 5^{2} + 1 = 26$ ;
$a_{6} = 6^{2} + 1 = 37$ ;
$a_{7} = 7^{2} + 1 = 50$ .
в) Підставимо $n = 1, 2, \dots, 7$ у формулу $a_{n} = 2 - 5 n$ :
$a_{1} = 2 - 5 \cdot 1 = - 3$ ;
$a_{2} = 2 - 5 \cdot 2 = - 8$ ;
$a_{3} = 2 - 5 \cdot 3 = - 13$ ;
$a_{4} = 2 - 5 \cdot 4 = - 18$ ;
$a_{5} = 2 - 5 \cdot 5 = - 23$ ;
$a_{6} = 2 - 5 \cdot 6 = - 28$ ;
$a_{7} = 2 - 5 \cdot 7 = - 33$ .
г) Підставимо $n = 1, 2, \dots, 7$ у формулу $a_{n} = n^{2} - n$ :
$a_{1} = 1^{2} - 1 = 0$ ;
$a_{2} = 2^{2} - 2 = 2$ ;
$a_{3} = 3^{2} - 3 = 6$ ;
$a_{4} = 4^{2} - 4 = 12$ ;
$a_{5} = 5^{2} - 5 = 20$ ;
$a_{6} = 6^{2} - 6 = 30$ ;
$a_{7} = 7^{2} - 7 = 42$ .

Відповідь:

а) $1, 4, 7, 10, 13, 16, 19$ ; б) $2, 5, 10, 17, 26, 37, 50$ ; в) $- 3, - 8, - 13, - 18, - 23, - 28, - 33$ ; г) $0, 2, 6, 12, 20, 30, 42$ .