ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 158

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 15. Послідовність Sequence

Завдання 1

Продовження послідовності квадратів

Продовжити послідовність квадратів натуральних чисел: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ .

Розв’язання

Відповідь:

$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, \dots$

Знаходження члена за формулою

Знайти сороковий член послідовності для трьох випадків: а) $a_{n} = 3 n - 2$ ; б) $a_{n} = (- 1)^{n}$ ; в) $a_{n} = n - (- 1)^{n - 3}$ .

Розв’язання

Для а): підставляємо $n = 40$ : $a_{40} = 3 \cdot 40 - 2 = 120 - 2 = 118$ .
Для б): підставляємо $n = 40$ : $a_{40} = (- 1)^{40} = 1$ (оскільки ступінь парне).
Для в): підставляємо $n = 40$ : $a_{40} = 40 - (- 1)^{40 - 3} = 40 - (- 1)^{37} = 40 - (- 1) = 40 + 1 = 41$ .

Відповідь:

а) 118; б) 1; в) 41.

Розв'язання нерівності для послідовності

Знайти номер, починаючи з якого всі члени послідовності $c_{n} = n^{2} + n$ стають більшими за 100 ( $n^{2} + n > 100$ ).

Розв’язання

Розглядаємо рівняння $n^{2} + n - 100 = 0$ . Дискримінант $D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 100) = 401$ .
Знаходимо додатний корінь: $n = \frac{- 1 + 401}{2} \approx \frac{- 1 + 20}{2} = 9, 5$ .
Оскільки $n$ має бути натуральним числом і вираз має бути більшим за 100, беремо найменше ціле число більше за 9,5, тобто $n = 10$ . Перевірка: $1 0^{2} + 10 = 110 > 100$ .

Відповідь:

Починаючи з десятого номера.

Аналіз монотонності послідовності

Дано формулу $a_{n} = 1 - 2 n^{2}$ . Потрібно визначити, чи є ця послідовність зростаючою чи спадною.

Розв’язання

Запишемо вирази для довільного члена $a_{p}$ та наступного за ним $a_{p + 1}$ : $a_{p} = 1 - 2 p^{2}$ , $a_{p + 1} = 1 - 2 (p + 1)^{2}$ .
Знайдемо різницю між ними: $a_{p + 1} - a_{p} = [1 - 2 (p + 1)^{2}] - (1 - 2 p^{2}) = 1 - 2 (p^{2} + 2 p + 1) - 1 + 2 p^{2} = - 4 p - 2$ .
Оскільки $p$ — натуральне число, то вираз $- 4 p - 2$ завжди від'ємний ( $< 0$ ). Отже, $a_{p + 1} < a_{p}$ , що означає спадання послідовності.

Відповідь:

Послідовність є спадною.