Сторінка 154

Розв’язання

1. Порівняємо задану функцію $y=-x^2+3x+6$ з загальним виглядом $y=a{x}^2+bx+c$. Отримаємо коефіцієнти: $a=-1$, $b=3$.

2. Підставимо значення коефіцієнтів у формулу $x_0=-\frac{b}{2a}$: $x_0=-\frac{3}{2\cdot (-1)}=-\frac{3}{-2}=1,5$.

Розв’язання

1. Запишемо умову існування кореня: $9-x^2\ge 0$.

2. Перетворимо нерівність: $x^2\le 9$, звідки випливає, що $-3\le x\le 3$.

Розв’язання

1. Складемо рівняння для пошуку нулів функції: $x^2-7x=0$.

2. Виділимо спільний множник $x$: $x(x-7)=0$. Звідси отримуємо корені: $x_1=0$ та $x_2=7$.

3. Запишемо координати точок перетину: $(0;0)$ і $(7;0)$.

Розв’язання

1. Будуємо графік функції $y=-x+1$. Це пряма, що проходить через точки $(0;1)$ і $(1;0)$.

2. Будуємо графік функції $y=x^2-x$. Це парабола, вершина якої знаходиться в точці $(0,5;-0,25)$, нулі — у точках $x=0$ і $x=1$.

3. Визначаємо точки перетину графіків візуально. Парабола й пряма перетинаються в двох точках: одна з них очевидна $(1;0)$, іншу треба знайти за допомогою малюнка або алгебраїчного розв'язання ($x^2-x=-x+1\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$).

Розв’язання

1. Розв'яжемо рівняння $x^2+4x+3=0$. Дискримінант $D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$.

2. Корені: $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-4\pm 2}{2}$. Отже, $x_1=-3$, $x_2=-1$. Нулі функції: $(-3;0)$ і $(-1;0)$.

3. Вершина параболи має координати $x_0=-\frac{4}{2}=-2$. Підставимо в рівняння: $y_0=(-2{)}^2+4\cdot (-2)+3=4-8+3=-1$. Вершина: $(-2;-1)$.

4. Оскільки коефіцієнт при $x^2$ додатний ($a=1>0$), парабола розкривається вгору. Функція спадає на проміжку $(-\infty ;-2]$ і зростає на проміжку $[-2;+\infty )$.

5. Мінімальне значення функції дорівнює $-1$, тому область значень — це $[-1;+\infty )$.

Розв’язання

1. Розв'яжемо відповідне квадратне рівняння $x^2+2x-3=0$. Дискримінант $D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$.

2. Корені рівняння: $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-2\pm 4}{2}$. Отже, $x_1=\frac{-2-4}{2}=-3$ і $x_2=\frac{-2+4}{2}=1$.

3. Оскільки старший коефіцієнт ($a=1$) додатний, а знак нерівності «більше нуля», розв'язком є множина чисел поза відрізком $[-3;1]$.

Розв’язання

1. Для нерівності а) $x^2-2x-9<0$ знайдемо корені рівняння $x^2-2x-9=0$. Дискримінант $D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-9)=4+36=40$. Корені: $x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{40}}{2}=1\pm \sqrt{10}$. Оскільки знак перед $x^2$ додатний і нерівність має знак «менше», розв'язком є проміжок між коренями: $(1-\sqrt{10};1+\sqrt{10})$.

2. Для нерівності б) $x^2-3x+4\le 0$ знайдемо дискримінант рівняння $x^2-3x+4=0$. Дискримінант $D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0$. Оскільки $D<0$, а коефіцієнт при $x^2$ додатний, парабола повністю лежить над віссю $Ox$, тобто вираз завжди додатний. Нерівність $\le 0$ не має розв'язків.

Розв’язання

1. Побудуємо графік функції $y=x^2-1$. Це парабола, що проходить через точки $(0;-1)$, $(1;0)$, $(-1;0)$. Вершина параболи знаходиться в точці $(0;-1)$.

2. Побудуємо графік функції $y=-x+1$. Це пряма, що проходить через точки $(0;1)$ і $(1;0)$.

3. Знайдемо точку перетину графіків. Прирівнюємо вирази: $x^2-1=-x+1\Rightarrow x^2+x-2=0$. Корені рівняння: $x_1=1$, $x_2=-2$. Відповідні значення $y$: при $x=1,y=0$; при $x=-2,y=3$. Точки перетину: $(1;0)$ і $(-2;3)$.

Розв’язання

1. Для рівняння $x^2+(c+1)x+3c-5=0$ коефіцієнти: $a=1$, $b=c+1$, $c_{const}=3c-5$. Дискримінант $D=b^2-4ac=(c+1{)}^2-4\cdot 1\cdot (3c-5)$.

2. Спростимо вираз для $D$: $D=c^2+2c+1-12c+20=c^2-10c+21$.

3. Умова наявності двох різних коренів: $D>0$, тобто $c^2-10c+21>0$. Знайдемо корені відповідного рівняння $c^2-10c+21=0$: $D_c=100-84=16$, корені $c_1=\frac{10-4}{2}=3$, $c_2=\frac{10+4}{2}=7$.

4. Нерівність $c^2-10c+21>0$ виконується за межі коренів: $c<3$ або $c>7$.