ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 153

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1 (с. 153)–9 (с. 153) · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 14. Розв’язування задач складанням систем

Завдання 1 (с. 153)

Абсциса вершини параболи

Знайти абсцису вершини параболи $y = - 3 x^{2} - 6 x + 2$ . Варіанти відповідей: А) 2, Б) 1, В) -1, Г) 5.

Розв’язання

Порівняємо дане рівняння $y = - 3 x^{2} - 6 x + 2$ з загальним виглядом $y = a x^{2} + b x + c$ . Отримаємо коефіцієнти: $a = - 3$ , $b = - 6$ .
Підставимо значення коефіцієнтів у формулу абсциси вершини: $x_{0} = - \frac{- 6}{2 \cdot ( - 3 )} = - \frac{- 6}{- 6} = - 1$ .

Відповідь:

В) -1

Завдання 2 (с. 153)

Область визначення функції

Знайти область визначення функції $y = x^{2} - 9$ . Варіанти відповідей: А) $[3; + \infty)$ , Б) $[- 3; + \infty)$ , В) $[- 3; 3]$ , Г) $(- \infty; - 3] \cup [3; + \infty)$ .

Розв’язання

Запишемо умову існування функції: $x^{2} - 9 \geq 0$ .
Розв'яжемо нерівність: $(x - 3) (x + 3) \geq 0$ . Корені відповідного рівняння $x^{2} - 9 = 0$ дорівнюють $x_{1} = - 3$ та $x_{2} = 3$ .
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, нерівність виконується за межами коренів: $x \leq - 3$ або $x \geq 3$ . Запишемо це у вигляді об'єднання проміжків: $(- \infty; - 3] \cup [3; + \infty)$ .

Відповідь:

Г) $(- \infty; - 3] \cup [3; + \infty)$

Завдання 3 (с. 153)

Точки перетину з віссю абсцис

У яких точках графік функції $y = x^{2} - 7 x$ перетинає вісь абсцис? Варіанти відповідей: А) $(0; - 7)$ , Б) $(0; 0)$ і $(0; 7)$ , В) $(0; 0)$ і $(7; 0)$ , Г) $(0; 0)$ і $(- 7; 0)$ .

Розв’язання

Запишемо умову перетину з віссю абсцис як рівняння $y = 0$ : $x^{2} - 7 x = 0$ .
Виведемо спільний множник $x$ за дужки: $x (x - 7) = 0$ .
Знайдемо корені: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 7$ . Відповідні точки перетину з віссю абсцис мають координати $(0; 0)$ та $(7; 0)$ .

Відповідь:

В) $(0; 0)$ і $(7; 0)$

Завдання 4 (с. 153)

Відповідність нерівностей і множин розв'язків

Установити відповідність між нерівностями (1–3) та множиною їхніх розв'язків (А–Д).
1. $x^{2} - 4 x + 4 > 0$
2. $x^{2} - 4 x + 4 < 0$
3. $x^{2} - 4 x + 4 \leq 0$
ВАРІАНТИ ВІДПОВІДЕЙ:
А $(2)$
Б $(- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$
В $(- \infty; + \infty)$
Г $(- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$
Д розв'язків немає

Розв’язання

Запишемо вираз як повний квадрат: $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ .
Розглянемо нерівність 1: $(x - 2)^{2} > 0$ . Квадрат додатний, коли множник не дорівнює нулю, тобто $x \neq = 2$ . Множина розв'язків: $(- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$ (пункт Г).
Розглянемо нерівність 2: $(x - 2)^{2} < 0$ . Квадрат дійсного числа не може бути від'ємним, тому розв'язків немає (пункт Д).
Розглянемо нерівність 3: $(x - 2)^{2} \leq 0$ . Квадрат менший або дорівнює нулю лише в одному випадку — коли він дорівнює нулю, тобто $x = 2$ (пункт А).

Відповідь:

1–Г; 2–Д; 3–А.

Завдання 5 (с. 153)

Аналіз графіка квадратичної функції

Побудувати графік функції $y = x^{2} + 4 x + 3$ та за допомогою нього знайти нулі, проміжки знакосталості, зростання, спадання та область значень.

Розв’язання

Розкладемо тричлен на множники: $y = (x + 1) (x + 3)$ . Нулями функції є точки перетину з віссю $O x$ : $(- 1; 0)$ і $(- 3; 0)$ .
Знайдемо вершину параболу: $x_{v} = - \frac{4}{2 \cdot 1} = - 2$ ; $y_{v} = (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1$ . Вершина $V (- 2; - 1)$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний, гілки параболу напрямлені вгору.
Область значень: оскільки мінімальне значення функції — це ордината вершини $- 1$ , то область значень $[- 1; + \infty)$ .
Знайдемо проміжки знакосталості: функція додатна за межами коренів, від'ємна між ними. Додатна на $(- \infty; - 3) \cup (- 1; + \infty)$ , від'ємна на $(- 3; - 1)$ .
Проміжки монотонності: парабола спадає до вершини і зростає після неї. Спадає на $(- \infty; - 2)$ , зростає на $[- 2; + \infty)$ .

Відповідь:

Нулі: $(- 3; 0), (- 1; 0)$ . Область значень: $[- 1; + \infty)$ . Зростання: $[- 2; + \infty)$ , Спадання: $(- \infty; - 2]$ . Додатна на $(- \infty; - 3) \cup (- 1; + \infty)$ , від'ємна на $(- 3; - 1)$ .

Завдання 6 (с. 153)

Розв'язання системи рівнянь графічно

Знайти розв'язок системи рівнянь ${x^{2} + y = 1 x - y + 1 = 0$ , побудувавши графіки.

Розв’язання

Розглянемо параболу $y = - x^{2} + 1$ . Вершина $(0; 1)$ . Нулі функції знаходимо з рівняння $- x^{2} + 1 = 0$ , звідки $x = \pm 1$ . Точки перетину з віссю $O x$ : $(- 1; 0)$ і $(1; 0)$ .
Розглянемо пряму $y = x + 1$ . Перетин з віссю $O y$ у точці $(0; 1)$ . Перетин з віссю $O x$ , коли $y = 0$ , тоді $x = - 1$ . Точка $(- 1; 0)$ .
Побудувавши графіки, бачимо, що парабола проходить через точку $(0; 1)$ і пряма також проходить через цю точку. Отже, одна точка перетину — $(0; 1)$ . Перевіримо ще одну точку: якщо $x = - 1$ , то для параболу $y = 0$ , для прямої $y = 0$ . Точка $(- 1; 0)$ також є спільною.
Отже, графіки перетинаються в двох точках: $(0; 1)$ і $(- 1; 0)$ .

Відповідь:

Розв'язок системи: ${x_{1} = 0 y_{1} = 1$ , ${x_{2} = - 1 y_{2} = 0$ .

Завдання 7 (с. 153)

Розв'язування нерівностей

а) $2 x^{2} - 9 x - 5 < 0$ ;
б) $3 - x - 4 x^{2} \leq 0$ ;
в) $(2 x - 5) (x + 2) - (2 x - 1) (2 x + 1) \geq 7 - 13 x$ .

Розв’язання

а) Знаходимо корені рівняння $2 x^{2} - 9 x - 5 = 0$ . Дискримінант $D = (- 9)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 81 + 40 = 121$ . Корені: $x_{1} = \frac{9 - 11}{4} = - \frac{1}{2}$ , $x_{2} = \frac{9 + 11}{4} = 5$ . Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний ( $a = 2 > 0$ ), параболу направлено вгору. Нерівність $< 0$ виконується між коренями: $- \frac{1}{2} < x < 5$ .
б) Запишемо у стандартному вигляді: $- 4 x^{2} - x + 3 \leq 0$ . Множимо на $- 1$ , змінюючи знак нерівності: $4 x^{2} + x - 3 \geq 0$ . Корені рівняння $4 x^{2} + x - 3 = 0$ : $D = 1 - 4 \cdot 4 \cdot (- 3) = 49$ . $x_{1} = \frac{- 1 - 7}{8} = - 1$ , $x_{2} = \frac{- 1 + 7}{8} = \frac{3}{4}$ . Оскільки знак $\geq 0$ , розв'язок — за межами коренів: $x \leq - 1$ або $x \geq \frac{3}{4}$ .
в) Спростимо ліву частину: $(2 x^{2} + 4 x - 10) - (4 x^{2} + 2 x - 1) = - 2 x^{2} + 2 x - 9$ . Нерівність набуває вигляду $- 2 x^{2} + 2 x - 9 \geq 7 - 13 x$ . Перенесемо все вліво: $- 2 x^{2} + 15 x - 16 \geq 0$ . Множимо на $- 1$ : $2 x^{2} - 15 x + 16 \leq 0$ . Корені рівняння $2 x^{2} - 15 x + 16 = 0$ : $D = 225 - 128 = 97$ . $x_{1, 2} = \frac{15 \pm 97}{4}$ . Оскільки знак $\leq 0$ , розв'язок між коренями.

Відповідь:

а) $(- \frac{1}{2}; 5)$ ; б) $(- \infty; - 1] \cup [\frac{3}{4}; + \infty)$ ; в) $[\frac{15 - 97}{4}; \frac{15 + 97}{4}]$ .

Завдання 8 (с. 153)

Задача на рух (швидкість, час, відстань)

З пункту $A$ одночасно виїжджають велосипедист і мотоцикліст в одному напрямку. Через годину відстань між ними $12 км$ . Знайти швидкості, якщо до пункту $B$ (відстань $60 км$ від $A$ ) велосипедист приїде на $1 год 20 хв$ пізніше.

Розв’язання

За годину мотоцикліст проїжджає на $12 км$ більше, ніж велосипедист: $v_{2} - v_{1} = 12$ . Звідси $v_{2} = v_{1} + 12$ .
Час руху мотоцикліста до пункту $B$ : $t_{2} = \frac{60}{v _{2}}$ . Час руху велосипедиста: $t_{1} = \frac{60}{v _{1}}$ . За умовою $t_{1} - t_{2} = 1 год 20 хв = 1 + \frac{20}{60} = \frac{4}{3}$ год.
Складемо рівняння: $\frac{60}{v _{1}} - \frac{60}{v _{1} + 12} = \frac{4}{3}$ . Помножимо на $3 v_{1} (v_{1} + 12)$ : $180 (v_{1} + 12) - 180 v_{1} = 4 v_{1} (v_{1} + 12)$ . Спростимо: $2160 = 4 v_{1}^{2} + 48 v_{1}$ , або $v_{1}^{2} + 12 v_{1} - 540 = 0$ .
Знайдемо корені рівняння: $D = 144 + 2160 = 2304$ , $D = 48$ . $v_{1} = \frac{- 12 \pm 48}{2}$ . Від'ємне значення відкидаємо. $v_{1} = \frac{36}{2} = 18 км / год$ . Тоді $v_{2} = 18 + 12 = 30 км / год$ .

Відповідь:

Швидкість велосипедиста — $18 км / год$ , швидкість мотоцикліста — $30 км / год$ .

Завдання 9 (с. 153)

Параметричні рівняння другого степеня

Знайти значення параметра $c$ , при яких рівняння $x^{2} + (c + 1) x + 3 c - 5 = 0$ має два різних дійсних корені.

Розв’язання

Для рівняння $x^{2} + (c + 1) x + 3 c - 5 = 0$ коефіцієнти: $a = 1$ , $b = c + 1$ , $k = 3 c - 5$ .
Дискримінант $D = b^{2} - 4 ak = (c + 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 c - 5)$ .
Розкриємо дужки: $D = c^{2} + 2 c + 1 - 12 c + 20 = c^{2} - 10 c + 21$ .
Умова наявності двох різних коренів: $D > 0$ , тобто $c^{2} - 10 c + 21 > 0$ . Знайдемо корені відповідного рівняння $c^{2} - 10 c + 21 = 0$ : $D_{c} = 100 - 84 = 16$ , $c_{1, 2} = \frac{10 \pm 4}{2}$ , отже $c_{1} = 3$ , $c_{2} = 7$ .
Оскільки коефіцієнт при $c^{2}$ додатний, нерівність виконується за межами коренів: $c < 3$ або $c > 7$ .

Відповідь:

$c \in (- \infty; 3) \cup (7; + \infty)$ .