ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 152

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1 (с. 152)–10 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 14. Розв’язування задач складанням систем

Завдання 1 (с. 152)

Парабола з гілками вниз

Графіком якої функції є парабола, гілки якої напрямлені вниз? Варіанти відповідей: А $y = - x + 1$ , Б $y = x^{2} - 2 x$ , В $y = 4 - x^{2}$ , Г $y = 3 - 2 x$ .

Розв’язання

Аналізуємо варіант А: $y = - x + 1$ . Це функція кореневий, її графік не є параболою.
Аналізуємо варіант Б: $y = x^{2} - 2 x$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $1$ ( $1 > 0$ ), гілки спрямовані вгору.
Аналізуємо варіант В: $y = 4 - x^{2}$ , що можна переписати як $y = - x^{2} + 4$ . Коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $- 1$ ( $- 1 < 0$ ), отже, гілки спрямовані вниз.
Аналізуємо варіант Г: $y = 3 - 2 x$ . Це лінійна функція (графік — пряма), а не парабола.

Відповідь:

Завдання 2 (с. 152)

Проміжок додатних значень функції

Функція $y = x^{2} - 4 x$ набуває додатних значень на проміжку. Варіанти відповідей: А $(0; 4)$ , Б $(- 4; 0)$ , В $(- \infty; - 4) \cup (0; + \infty)$ , Г $(- \infty; 0) \cup (4; + \infty)$ .

Розв’язання

Знайдемо корені рівняння $x^{2} - 4 x = 0$ : $x (x - 4) = 0$ , отже, $x_{1} = 0$ і $x_{2} = 4$ .
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний ( $a = 1 > 0$ ), функція додатна за межами відрізка між коренями.
Отже, $y > 0$ при $x < 0$ або $x > 4$ . Це відповідає проміжку $(- \infty; 0) \cup (4; + \infty)$ .

Відповідь:

Завдання 3

Проміжок зростання функції

Функція $y = x^{2} + 4 x - 2$ зростає на проміжку. Варіанти відповідей: А $(2; + \infty)$ , Б $(- 6; + \infty)$ , В $(- 2; + \infty)$ , Г $(10; + \infty)$ .

Розв’язання

Для функції $y = x^{2} + 4 x - 2$ коефіцієнти: $a = 1$ , $b = 4$ .
Знайдемо абсцису вершини: $x_{0} = - \frac{4}{2 \cdot 1} = - 2$ .
Оскільки $a = 1 > 0$ , функція спадає до вершини і зростає після неї. Тому проміжок зростання починається від $- 2$ і йде до $+ \infty$ .

Відповідь:

Завдання 4

Знаходження вершини параболи

Вершиною параболи $y = 2 x^{2} - 8 x + 1$ є точка. Варіанти відповідей: А $(2; - 7)$ , Б $(- 2; 33)$ , В $(- 2; 9)$ , Г $(2; - 11)$ .

Розв’язання

Знайдемо абсцису вершини за формулою $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ . Для нашої функції $a = 2$ , $b = - 8$ . Тоді $x_{0} = - \frac{- 8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$ .
Підставимо знайдене значення $x = 2$ у рівняння функції, щоб знайти ординату: $y_{0} = 2 \cdot (2)^{2} - 8 \cdot 2 + 1 = 2 \cdot 4 - 16 + 1 = 8 - 16 + 1 = - 7$ .

Відповідь:

Вершиною є точка $(2; - 7)$ , що відповідає варіанту А.

Завдання 5

Визначення функції з графіком параболи

Парабола — це графік функції. Варіанти відповідей: А $y = \frac{2}{x}$ , Б $y = x - 3 x^{2}$ , В $y = 2 x$ , Г $y = x$ .

Розв’язання

Розглянемо функцію А: $y = \frac{2}{x}$ . Це раціональна дробова функція, її графік — гіпербола.
Розглянемо функцію Б: $y = x - 3 x^{2}$ . Перепишемо як $y = - 3 x^{2} + x$ . Це квадратична функція, оскільки змінна $x$ має ступінь 2 і коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $- 3$ .
Розглянемо функцію В: $y = 2 x$ . Це лінійна функція, її графік — пряма.
Розглянемо функцію Г: $y = x$ . Графіком цієї функції є півпарабола, але не вся парабола.

Відповідь:

Графіком параболи є функція з варіанту Б ( $y = x - 3 x^{2}$ ).

Завдання 6

Розв'язання нерівності другого степеня

Знайти розв'язок нерівності $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ . Варіанти відповідей: А $(3; - 1)$ , Б $(- 3; 1)$ , В $(- \infty; - 3) \cup (1; + \infty)$ , Г $(- \infty; - 1) \cup (- 3; + \infty)$ .

Розв’язання

Знайдемо корені рівняння $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ . Дискримінант $D = b^{2} - 4 a c = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 4 + 12 = 16$ . Корені: $x_{1} = \frac{- 2 - 4}{2} = - 3$ , $x_{2} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$ .
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний ( $a = 1 > 0$ ), парабола розташована гілками вгору, тому функція додатна за межі коренів: $x < - 3$ або $x > 1$ .

Відповідь:

Розв'язком є проміжок $(- \infty; - 3) \cup (1; + \infty)$ , що відповідає варіанту В.

Завдання 7

Знаходження точки максимуму функції

Функція $y = - x^{2} + 2 x + 5$ . Потрібно знайти значення $x$ , при якому функція набуває найбільшого значення.

Розв’язання

Порівнюємо коефіцієнт $a = - 1$ із нулем. Оскільки $- 1 < 0$ , парабола має максимум у вершині.
Знаходимо абсцису вершини за формулою $x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot ( - 1 )} = - \frac{2}{- 2} = 1$ .
Перевіряємо варіанти відповідей: найбільше значення функції досягається при $x = 1$ .

Відповідь:

Завдання 8

Розв'язання системи рівнянь з квадратним та лінійним рівняннями

Система ${y = x^{2} + 4 4 x + y = 0$ . Потрібно знайти координати точки перетину графіків.

Розв’язання

Підставляємо $y = - 4 x$ у рівняння $y = x^{2} + 4$ : $- 4 x = x^{2} + 4$ .
Перетворюємо до стандартного вигляду: $x^{2} + 4 x + 4 = 0$ . Це повний квадрат $(x + 2)^{2} = 0$ , звідки $x_{1} = x_{2} = - 2$ .
Знаходимо ординату за формулою $y = - 4 x$ : $y = - 4 \cdot (- 2) = 8$ . Отримуємо точку $(- 2; 8)$ .

Відповідь:

Завдання 9

Визначення області значень квадратичної функції

Функція $y = x^{2} - 2$ . Потрібно знайти множину всіх можливих значень $y$ (область значень).

Розв’язання

Знаходимо вершину параболи: $x_{0} = - \frac{0}{2 \cdot 1} = 0$ .
Знаходимо ординату вершини: $y_{0} = 0^{2} - 2 = - 2$ . Це мінімальне значення функції.
Оскільки коефіцієнт при $x^{2}$ додатний ( $a = 1 > 0$ ), парабола відкрита вгору, тому область значень — $[- 2; + \infty)$ .

Відповідь:

Завдання 10

Знаходження параметрів параболи за вершиною

Дано параболу $y = x^{2} + b x + c$ . Вершина цієї параболи лежить у точці $A (2; - 3)$ . Потрібно знайти значення коефіцієнтів $b$ та $c$ .

Розв’язання

Знайдемо коефіцієнт $b$ , використовуючи формулу абсциси вершини. Для функції $y = x^{2} + b x + c$ коефіцієнт при $x^{2}$ дорівнює $a = 1$ . Абсциса вершини $x_{0} = 2$ .
$2 = - \frac{b}{2 \cdot 1} \Rightarrow 2 = - \frac{b}{2} \Rightarrow b = - 4$
Тепер знайдемо коефіцієнт $c$ , підставивши координати вершини $(2; - 3)$ у рівняння функції з вже знайденим $b$ :
$- 3 = 1^{2} \cdot (2)^{2} + (- 4) \cdot 2 + c$
$- 3 = 4 - 8 + c$
$- 3 = - 4 + c \Rightarrow c = 1$

Відповідь:

$b = - 4, c = 1$ (варіант В).