Сторінка 150

Розв’язання

1. Розглянемо першу пряму: система $\{\begin{array}{l}y=\frac{12}{x-3}\\ 3y-x+3=0\end{array}$. Підставимо $y$: $3\left(\frac{12}{x-3}\right)-x+3=0\Rightarrow \frac{36}{x-3}=x-3$. Помножимо на $(x-3)$: $36=(x-3{)}^2$. Корені: $x-3=6$ або $x-3=-6$, тобто $x_1=9,x_2=-3$. Знайдемо $y$: для $x=9\Rightarrow y=4$; для $x=-3\Rightarrow y=-3$. Точки: $(9;4)$ і $(-3;-3)$.

2. Розглянемо другу пряму: система $\{\begin{array}{l}y=\frac{12}{x-3}\\ y-3x+9=0\end{array}$. Підставимо $y$: $\frac{12}{x-3}-3x+9=0\Rightarrow \frac{12}{x-3}=3x-9=3(x-3)$. Помножимо на $(x-3)$: $12=3(x-3{)}^2\Rightarrow (x-3{)}^2=4$. Корені: $x-3=2$ або $x-3=-2$, тобто $x_3=5,x_4=1$. Знайдемо $y$: для $x=5\Rightarrow y=6$; для $x=1\Rightarrow y=-6$. Точки: $(5;6)$ і $(1;-6)$.

3. Розглянемо коло: система $\{\begin{array}{l}y=\frac{12}{x-3}\\ x^2-6x+y^2=16\end{array}$. Перепишемо рівняння кола як $(x-3{)}^2+y^2=25$. Підставимо $y$: $(x-3{)}^2+{\left(\frac{12}{x-3}\right)}^2=25$. Позначимо $t=x-3$, тоді $t^2+\frac{144}{t^2}=25$. Помножимо на $t^2$: $t^4-25t^2+144=0$. Нехай $z=t^2$, $z^2-25z+144=0$. Дискримінант $D=625-576=49$. Корені $z_1=\frac{25+7}{2}=16$, $z_2=\frac{25-7}{2}=9$. Тоді $t^2=16\Rightarrow t=\pm 4$ (тобто $x-3=\pm 4\Rightarrow x=7,-1$) і $t^2=9\Rightarrow t=\pm 3$ (тобто $x-3=\pm 3\Rightarrow x=6,0$). Знайдемо $y$: для $x=7\Rightarrow y=-4$; для $x=-1\Rightarrow y=-4$; для $x=6\Rightarrow y=12$; для $x=0\Rightarrow y=-12$. Точки: $(7;-4),(-1;-4),(6;12),(0;-12)$.