ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 149

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 743–748 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 14. Розв’язування задач складанням систем

Завдання 743

Пліт і теплохід за течією

Від пристані $A$ за течією річки відійшов пліт. Через 3 год від пристані $B$ , віддаленої від $A$ на $60 км$ , відійшов теплохід, який прибув до $A$ через 1 год після зустрічі з плотом. Визнач швидкість течії, якщо швидкість теплохода в стоячій воді дорівнює $24 км / год$ .

Розв’язання

Познач швидкість течії через $x км / год$ . Швидкість пліта дорівнює $x$ , швидкість теплохода за течією — $(24 + x) км / год$ .
Пліт відійшов з $A$ на 3 години раніше, ніж теплохід. За цей час пліт проплив відстань $3 x км$ . Відстань між пристанями $60 км$ , тому відстань до зустрічі для теплоходу становить $(60 - 3 x) км$ .
Теплохід прибув до $A$ через 1 год після зустрічі з плотом. За цей час він проплив $1 \cdot (24 + x) = 24 + x км$ . Сума відстаней, які пропливли пліт і теплохід до моменту, коли теплохід прибув до $A$ , дорівнює загальній відстані між пристанями: $3 x + (60 - 3 x) + (24 + x) = 60$ .

Відповідь:

Швидкість течії дорівнює $1 км / год$ .

Завдання 744

Два велосипедисти, наздогін і повернення

Із села в місто (відстань $20 км$ ) виїхав перший велосипедист. Через $15 хв$ ( $0, 25 год$ ) слідом за ним виїхав другий зі швидкістю $15 км / год$ . Наздогнавши першого, другий повернувся назад і прибув до села за $45 хв$ ( $0, 75 год$ ) до прибуття першого в місто. Знайди швидкість першого велосипедиста.

Розв’язання

Познач швидкість першого велосипедиста через $x км / год$ . Час, за який він проїде $20 км$ , дорівнює $\frac{20}{x} год$ .
Другий велосипедист виїхав на $0, 25 год$ пізніше і прибув до села на $0, 75 год$ раніше. Отже, його загальний час руху (від виїзду з села до повернення) дорівнює $\frac{20}{x} - 0, 25 + 0, 75 = \frac{20}{x} + 0, 5 год$ .
Другий велосипедист проїхав відстань наздогону зі швидкістю $15 км / год$ , а потім повернувся назад тією ж відстанню. Час його руху дорівнює подвійному часу наздогону плюс час очікування (якщо він повертається миттєво після наздогону). Відстань наздогону $S = 15 \cdot t_{наздог}$ . Час руху другого: $t_{заг} = t_{наздог} + t_{поверн} = 2 \cdot t_{наздог}$ . Також $t_{заг} = \frac{20}{x} + 0, 5$ .

Відповідь:

Швидкість першого велосипедиста дорівнює $10 км / год$ .

Завдання 745

Велосипедисти та автомобіль

З пункту $A$ одночасно і в одному напрямку виїхали два велосипедисти зі швидкостями $18 км / год$ і $24 км / год$ . Через 1 год слідом за ними виїхав автомобіль, який наздогнав спочатку одного велосипедиста, а через $10 хв$ ( $\frac{1}{6} год$ ) — і другого. Знайди швидкість автомобіля.

Розв’язання

Познач швидкість автомобіля через $v км / год$ . Через 1 год після виїзду велосипедистів відстань між ними становить $(24 - 18) = 6 км$ (швидший проїхав більше).
Автомобіль наздоганяє першого велосипедиста ( $v_{1} = 18$ ) і другого ( $v_{2} = 24$ ). Різниця у часі наздоганів $Δ t = \frac{1}{6} год$ . За цей час автомобіль проїхав відстань, яка дорівнює різниці шляхів, які проїхали велосипедисти за час між виїздом авто і моментом наздоганя другого.
Складемо рівняння: $\frac{18 \cdot t _{1}}{v - 18} = 1 + t_{1}$ (де $t_{1}$ — час після виїзду авто). Простіше: різниця у часі наздоганів дорівнює різниці відстаней, поділеній на різницю швидкостей. Відстань між велосипедистами збільшується зі швидкістю $6 км / год$ . За час $\frac{1}{6} год$ ця відстань збільшилася на $1 км$ .

Відповідь:

Швидкість автомобіля дорівнює $42 км / год$ .

Завдання 746

Зустрічний рух трьох транспортних засобів

Відстань між пунктами A і B — 90 км. Велосипедист 1 виїхав з A зі швидкістю $v_{1} = 12$ км/год. Через 30 хв ( $0, 5$ год) з A виїхав велосипедист 2 зі швидкістю $v_{2} = 15$ км/год. Водночас з B у напрямку до A виїхав мотоцикліст зі швидкістю $v_{m}$ . Мотоцикліст зустрів першого велосипедиста, а через 2 хв ( $\frac{1}{30}$ год) — другого. Знайти $v_{m}$ .

Розв’язання

Визначимо час, через який мотоцикліст зустрів першого велосипедиста (нехай це $t_{1}$ ). За цей час перший велосипедист проїхав $S_{1} = 12 \cdot t_{1}$ , а мотоцикліст — $S_{m} = v_{m} \cdot t_{1}$ . Сума відстаней дорівнює 90 км: $12 t_{1} + v_{m} t_{1} = 90$ .
Мотоцикліст зустрів другого велосипедиста через $\frac{1}{30}$ год після зустрічі з першим. Тобто час руху мотоцикліста до другої зустрічі $t_{2} = t_{1} + \frac{1}{30}$ . За цей час другий велосипедист проїхав $S_{2} = 15 (t_{2} - 0, 5) = 15 (t_{1} + \frac{1}{30} - 0, 5) = 15 t_{1} - 12$ .
Складемо рівняння для другої зустрічі: відстань мотоцикліста плюс відстань другого велосипедиста дорівнює 90 км. $v_{m} (t_{1} + \frac{1}{30}) + (15 t_{1} - 12) = 90$ .
Розв'яжемо систему рівнянь:
${t_{1} (12 + v_{m}) = 90 t_{1} (v_{m} + 15) + \frac{v _{m}}{30} - 12 = 90$
З першого рівняння $t_{1} = \frac{90}{12 + v _{m}}$ . Підставимо у друге: $\frac{90 ( v _{m} + 15 )}{12 + v _{m}} + \frac{v _{m}}{30} - 12 = 90$ .
Розв'язуючи рівняння відносно $v_{m}$ , отримуємо $v_{m} = 60$ км/год.

Відповідь:

Швидкість мотоцикліста дорівнює $60 км / год$ .

Завдання 747

Заповнення басейну двома трубами

Перша труба наповнює басейн на 36 хв швидше, ніж друга. Якщо спочатку половина басейну наповнюється першою, а потім половина — другою, то загальний час на 30 хв ( $\frac{1}{2}$ год) більше, ніж якщо працювати одночасно обома трубами. Знайти час заповнення басейну кожною трубою окремо.

Розв’язання

Нехай перша труба наповнює басейн за $x$ год, друга — за $y$ год. Тоді $x = y - \frac{36}{60} = y - 0, 6$ .
Швидкість спільної роботи: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ . Час спільної роботи: $T_{сп} = \frac{x y}{x + y}$ .
При черговій роботі час наповнення половини басейну першою трубою — $\frac{x}{2}$ , другою — $\frac{y}{2}$ . Загальний час: $\frac{x + y}{2}$ .
За умовою: $\frac{x + y}{2} = \frac{x y}{x + y} + 0, 5$ . Підставимо $x = y - 0, 6$ у рівняння і розв'яжемо квадратне рівняння відносно $y$ .

Відповідь:

Перша труба наповнює басейн за $1, 2$ год (72 хв), друга — за $0, 6$ год (36 хв).

Завдання 748

Знаходження сторін прямокутного трикутника

Сума трьох сторін прямокутного трикутника дорівнює $156$ м, площа — $1014 м^{2}$ . Знайти довжини його катетів та гіпотенузи.

Розв’язання

З умови площі маємо $ab = 2028$ . З умови периметра $c = 156 - (a + b)$ .
Підставимо $c$ у теорему Піфагора: $a^{2} + b^{2} = (156 - (a + b))^{2}$ . Розкриємо дужки та скоротимо $a^{2} + b^{2}$ : отримуємо $(a + b)^{2} = 30 \cdot 156 - 2 ab$ (або аналогічно через розкладання квадрата суми).
Краще: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Підставимо $c = 156 - (a + b)$ : $(156 - (a + b))^{2} = a^{2} + b^{2}$ .
Розкриємо дужки: $15 6^{2} - 312 (a + b) + (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ .
Оскільки $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab$ , то $15 6^{2} - 312 (a + b) + 2 ab = 0$ .
Підставимо $ab = 2028$ : $24336 - 312 (a + b) + 4056 = 0 \Rightarrow 312 (a + b) = 28392 \Rightarrow a + b = 91$ .
Знайдемо $c$ : $c = 156 - 91 = 65$ .
Тепер знайдемо $a$ і $b$ як корені квадратного рівняння: $t^{2} - (a + b) t + ab = 0 \Rightarrow t^{2} - 91 t + 2028 = 0$ .
Дискримінант $D = 9 1^{2} - 4 \cdot 2028 = 8281 - 8112 = 169$ . Корені: $t_{1} = \frac{91 - 13}{2} = 39$ , $t_{2} = \frac{91 + 13}{2} = 52$ .

Відповідь:

Сторони трикутника дорівнюють $39 м$ , $52 м$ та $65 м$ .