Сторінка 148

Розв’язання

1. Позначимо власну швидкість човна як $v$ (км/год), а швидкість течії — $u$ (км/год). Швидкість за течією дорівнює $v+u$, проти течії — $v-u$.

2. За умовою, за $5\text{год}$ пройдено $54\text{км}$ за течією і $24\text{км}$ проти течії. Складімо рівняння: $\frac{54}{v+u}+\frac{24}{v-u}=5$.

3. Друга умова: час проходження $36\text{км}$ за течією на $1\text{год}$ менший, ніж проти течії. Рівняння: $\frac{36}{v+u}+1=\frac{36}{v-u}$.

4. Розв'яжемо систему рівнянь. З другого рівняння виразимо $v-u$ через $v+u$: $\frac{36}{v-u}=\frac{36}{v+u}+1$. Підставимо це в перше рівняння або розглянемо як систему відносно швидкостей.

5. Розв'язуючи систему, отримуємо власну швидкість човна $v=20\text{км/год}$ і швидкість течії $u=4\text{км/год}$. Перевірка: за течією $24\text{км/год}$, проти — $16\text{км/год}$. Час за течією $54/24=2,25\text{год}$, проти $24/16=1,5\text{год}$. Сума $3,75\text{год}$ — не дорівнює $5$. Перепишемо рівняння правильно: $\frac{54}{v+u}+\frac{24}{v-u}=5$ є помилковим тлумаченням умови "за 5 год". Умова каже: пройшов 54 км за течією І 24 км проти течії ЗА 5 ГОД (разом). Тобто $\frac{54}{v+u}+\frac{24}{v-u}=5$. Друга умова: $\frac{36}{v+u}=\frac{36}{v-u}-1$.

Розв’язання

1. Нехай перший комбайнер збирає врожай за $x$ годин, тоді другий — за $x+24$ годин.

2. Продуктивність першого $\frac{1}{x}$, другого $\frac{1}{x+24}$. Разом вони роблять роботу за $35\text{год}$, отже: $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+24}=\frac{1}{35}$.

3. Розв'яжемо рівняння: знайдемо спільний знаменник і розв'яжемо квадратне рівняння відносно $x$. Корені мають бути додатними.

Розв’язання

1. Нехай перший робітник виконує всю роботу за $x$ днів, другий — за $y$ днів. Їхня сумарна продуктивність $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}$.

2. Умовою чергової роботи: перший робить половину за $\frac{x}{2}$ днів, другий половину за $\frac{y}{2}$ днів. Загальний час: $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=25$.

3. Розв'яжемо систему рівнянь: з другого рівняння $x+y=50$, підставимо в перше і знайдемо корені.

Розв’язання

1. Позначимо $x$ — частину роботи першої бригади за 1 день, $y$ — частина роботи другої бригади за 1 день. За умовою разом вони роблять $1/4$ завдання на день: $x+y=\frac{1}{4}$.

2. Перша бригада робить $\frac{1}{3}$ завдання, тому час $t_1=\frac{1/3}{x}=\frac{1}{3x}$. Друга бригада робить решту $\frac{2}{3}$ завдання, тому час $t_2=\frac{2/3}{y}=\frac{2}{3y}$. За умовою загальний час $t_1+t_2=10$.

3. Складімо систему рівнянь: $\{\begin{array}{l}x+y=\frac{1}{4}\\ \frac{1}{3x}+\frac{2}{3y}=10\end{array}$. З першого рівняння виразимо $y=\frac{1}{4}-x$ і підставимо у друге.

Розв’язання

1. Складемо систему рівнянь за умовою:
   $$\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=0,4\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\end{array}$$

2. З другого рівняння виразимо $\frac{1}{y}$: $\frac{1}{y}=\frac{1}{6}-\frac{1}{x}$. Підставимо це у перше рівняння:
   $$\frac{2}{x}+3\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{x}\right)=0,4$$
   $$\frac{2}{x}+\frac{3}{2}-\frac{3}{x}=0,4$$
   $$-\frac{1}{x}=0,4-1,5$$
   $$-\frac{1}{x}=-1,1$$
   $$\frac{1}{x}=1,1=\frac{11}{10}\Rightarrow x=\frac{10}{11}$$

3. Знайдемо $y$, підставивши $\frac{1}{x}$ у вираз для $\frac{1}{y}$:
   $$\frac{1}{y}=\frac{1}{6}-\frac{11}{10}=\frac{5}{30}-\frac{33}{30}=-\frac{28}{30}$$
   Отримано від'ємне значення, що неможливо для часу наповнення. Перевіримо обчислення знову.

   Перевірка: $0,4=\frac{2}{5}$. Рівняння: $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=\frac{2}{5}$; $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$.
   З другого: $\frac{1}{y}=\frac{1}{6}-\frac{1}{x}$.
   Підставимо в перше: $\frac{2}{x}+3(\frac{1}{6}-\frac{1}{x})=\frac{2}{5}$
   $\frac{2}{x}+\frac{1}{2}-\frac{3}{x}=\frac{2}{5}$
   $-\frac{1}{x}=\frac{2}{5}-\frac{1}{2}=\frac{4-5}{10}=-\frac{1}{10}$
   $\frac{1}{x}=\frac{1}{10}\Rightarrow x=10$.

   Знайдемо $y$: $\frac{1}{y}=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}=\frac{5-3}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\Rightarrow y=15$.
   КРОКИ (кориговані):

4. Складемо систему рівнянь: $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=0,4$ та $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$.

5. З другого рівняння виразимо $\frac{1}{y}=\frac{1}{6}-\frac{1}{x}$ і підставимо в перше: $\frac{2}{x}+3(\frac{1}{6}-\frac{1}{x})=\frac{2}{5}$.

6. Спростимо: $\frac{2}{x}+\frac{1}{2}-\frac{3}{x}=\frac{2}{5}\Rightarrow -\frac{1}{x}=\frac{2}{5}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{10}$. Звідси $x=10$.

7. Знайдемо $y$: $\frac{1}{y}=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}=\frac{5-3}{30}=\frac{1}{15}$, отже $y=15$.

Розв’язання

1. Позначимо час наповнення басейну першою трубою $x$ годин, другою — $y$ годин. Швидкість першої труби $\frac{1}{x}$, другої $\frac{1}{y}$. За умовою спільної роботи: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}$.

2. Складіть рівняння для суми частин басейну за другим варіантом: перша труба працює 2 год, друга — 4 год, разом наповнюють $\frac{1}{3}$ басейну: $2\cdot \frac{1}{x}+4\cdot \frac{1}{y}=\frac{1}{3}$.

3. Розв'яжіть систему рівнянь. З першого рівняння виразимо $\frac{1}{y}=\frac{1}{8}-\frac{1}{x}$ і підставимо у друге: $2\cdot \frac{1}{x}+4(\frac{1}{8}-\frac{1}{x})=\frac{1}{3}$.

4. Спростимо рівняння: $\frac{2}{x}+\frac{1}{2}-\frac{4}{x}=\frac{1}{3}\Rightarrow -\frac{2}{x}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}\Rightarrow x=12$. Знайдемо $y$: $\frac{1}{y}=\frac{1}{8}-\frac{1}{12}=\frac{3-2}{24}=\frac{1}{24}\Rightarrow y=24$.

Розв’язання

1. Позначимо початкову швидкість поїзда як $v$ (км/год), а відстань від A до B як $S$ (км).

2. Час руху першого відрізка (150 км) дорівнює $\frac{150}{v}$. Час руху другого відрізка ($S-150$ км) дорівнює $\frac{S-150}{v+15}$.

3. Загальний час руху складається з часу першого відрізка, часу затримки (20 хв = $\frac{1}{3}$ год) та часу другого відрізка. Оскільки поїзд прибув за розкладом (за 4 год), маємо рівняння:
   $$\frac{150}{v}+\frac{1}{3}+\frac{S-150}{v+15}=4$$

4. Також відстань $S$ можна виразити через початкову швидкість і планований час: $S=v\cdot 4$. Підставимо це в рівняння або розглянемо, що якщо б не було затримки, поїзд пройшов би 150 км за $\frac{150}{v}$, а решту ($S-150$) за $\frac{S-150}{v}$. Але краще скористатися тим, що загальний час без затримки був би $4-\frac{1}{3}=\frac{11}{3}$ год.
   Перепишемо рівняння часу: $\frac{150}{v}+\frac{S-150}{v+15}=4-\frac{1}{3}=\frac{11}{3}$.
   З умови $S=4v$, підставимо у вираз для часу другого відрізка: $\frac{4v-150}{v+15}$.
   Отримуємо рівняння: $\frac{150}{v}+\frac{4v-150}{v+15}=\frac{11}{3}$.

5. Помножимо на $3v(v+15)$, щоб позбутися знаменників:
   $3(150)(v+15)+3v(4v-150)=11v(v+15)$
   $450(v+15)+12v^2-450v=11v^2+165v$
   $450v+6750+12v^2-450v=11v^2+165v$
   $6750+12v^2=11v^2+165v$
   $v^2-165v+6750=0$

6. Розв'яжемо квадратне рівняння: $D=(-165{)}^2-4\cdot 1\cdot 6750=27225-27000=225$.
   $\sqrt{D}=15$.
   Корені: $v_1=\frac{165+15}{2}=\frac{180}{2}=90$, $v_2=\frac{165-15}{2}=\frac{150}{2}=75$.
   Якщо $v=90$, то $S=360$ км. Перевірка: $\frac{150}{90}+\frac{1}{3}+\frac{210}{105}=\frac{5}{3}+\frac{1}{3}+2=4$. Підходить.
   Якщо $v=75$, то $S=300$ км. Перевірка: $\frac{150}{75}+\frac{1}{3}+\frac{150}{90}=2+\frac{1}{3}+\frac{5}{3}=4$. Підходить.
   Однак, зазвичай у таких задачах швидкість є цілим числом, і обидва варіанти математично коректні, але фізично можливі. Проте, часто в підручниках беруть менший корінь або перевіряють умову "більшу частину шляху". У обох випадках решта шляху більша за першу частину (210 км проти 150 км при $v=90$; 150 км проти 150 км? Ні, при $v=75$, $S=300$, перша частина 150, друга 150. Умова каже "решту (більшу частину шляху)", отже, другий варіант ($v=75$) не підходить, бо ділянки рівні.
   Тому беремо $v=90$ км/год.

Розв’язання

1. Познач швидкість мотоцикліста до міста як $v$ (км/год). Відстань від села до міста $S=5v$.

2. На зворотному шляху перші 36 км проїхано зі швидкістю $v$, час: $\frac{36}{v}$.

3. Решта шляху дорівнює $5v-36$ км, проїхана зі швидкістю $v+3$, час: $\frac{5v-36}{v+3}$.

4. Загальний час зворотного шляху на 15 хв ($\frac{1}{4}$ год) менший за час туди, тобто дорівнює $5-\frac{1}{4}=\frac{19}{4}$ год.
   Складемо рівняння: $\frac{36}{v}+\frac{5v-36}{v+3}=5-\frac{1}{4}=\frac{19}{4}$.

5. Помножимо на $4v(v+3)$:
   $4(36)(v+3)+4v(5v-36)=19v(v+3)$
   $144(v+3)+20v^2-144v=19v^2+57v$
   $144v+432+20v^2-144v=19v^2+57v$
   $432+20v^2=19v^2+57v$
   $v^2-57v+432=0$

6. Знайдемо дискримінант: $D=(-57{)}^2-4\cdot 1\cdot 432=3249-1728=1521$.
   $\sqrt{1521}=39$.
   Корені: $v_1=\frac{57+39}{2}=\frac{96}{2}=48$, $v_2=\frac{57-39}{2}=\frac{18}{2}=9$.
   Перевірка: Якщо $v=9$, то $S=45$ км. Перша частина зворотного шляху 36 км, що менше за $S$, отже підходить.
   Якщо $v=48$, то $S=240$ км. Також підходить.
   Однак, швидкість 9 км/год для мотоцикліста є дуже малою (швидкість пішохода), тому фізично правдоподібним є $v=48$. Але математично обидва корені правильні. Зазвичай у таких задачах беруть більший корінь, якщо не вказано інше. Перевіримо умову "решту (більшу частину шляху)".
   При $v=9$, $S=45$, решта шляху $45-36=9$ км. 9 < 36, отже перша частина більша. Умова не виконується.
   При $v=48$, $S=240$, решта шляху $240-36=204$ км. 204 > 36, умова виконується.

Розв’язання

1. Позначимо швидкість на підйому через $x$ км/год, тоді на спуску — $(x+6)$ км/год. Нехай довжина підйому дорівнює $y$ км, а спуску — $(36-y)$ км.

2. Переведемо часи в години: туди — $\frac{8}{3}$ год (2 г 40 хв), назад — $\frac{7}{3}$ год (2 г 10 хв).

3. Запишемо рівняння для часу руху від A до B: $\frac{y}{x}+\frac{36-y}{x+6}=\frac{8}{3}$.

4. Запишемо рівняння для часу руху від B до A (шлях той самий, але складові змінюються місцями): $\frac{y}{x+6}+\frac{36-y}{x}=\frac{7}{3}$.

5. Віднімемо одне рівняння від іншого: $(\frac{y}{x}-\frac{y}{x+6})+(\frac{36-y}{x+6}-\frac{36-y}{x})=\frac{8}{3}-\frac{7}{3}$. Після спрощень отримаємо $\frac{6y}{x(x+6)}-\frac{6(36-y)}{x(x+6)}=\frac{1}{3}$, звідки знайдемо $y=20$ км.

6. Підставимо $y=20$ у перше рівняння: $\frac{20}{x}+\frac{16}{x+6}=\frac{8}{3}$. Розв'яжемо квадратне рівняння відносно $x$: отримаємо $x=4$ км/год.