ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 147

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 725–733 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 14. Розв’язування задач складанням систем

Завдання 725

Задача Луки Пачіоло

Знайти два числа, сума квадратів яких дорівнює 20, а добуток — 8.

Розв’язання

Підставимо $x^{2} + y^{2} = 20$ та $x y = 8$ у формулу квадрата суми: $(x + y)^{2} = 20 + 2 \cdot 8 = 36$ .
Знайдемо можливі значення суми чисел: $x + y = 6$ або $x + y = - 6$ .
Розв'яжемо систему рівнянь для кожного випадку: ${x + y = 6 x y = 8$ та ${x + y = - 6 x y = 8$ . Корені квадратного рівняння $t^{2} - 6 t + 8 = 0$ (для першого випадку) — це $2$ і $4$ . Корені $t^{2} + 6 t + 8 = 0$ (для другого) — це $- 2$ і $- 4$ .

Відповідь:

Числа дорівнюють $2$ і $4$ , або $- 2$ і $- 4$ .

Завдання 726

Знаходження нескоротного дробу

Чисельник дробу на 3 менший від знаменника. Якщо додати по 10 до обох членів, дріб збільшується вдвічі. Знайти цей дріб.

Розв’язання

Складемо систему: ${y - x = 3 \frac{x + 10}{y + 10} = 2 \cdot \frac{x}{y}$ .
З першого рівняння виразимо $y = x + 3$ і підставимо у друге: $\frac{x + 10}{x + 3 + 10} = \frac{2 x}{x + 3}$ .
Спростимо рівняння: $\frac{x + 10}{x + 13} = \frac{2 x}{x + 3}$ . Переходимо до $(x + 10) (x + 3) = 2 x (x + 13)$ , що дає $x^{2} + 13 x + 30 = 2 x^{2} + 26 x$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння $x^{2} + 13 x - 30 = 0$ . Дискримінант $D = 169 + 120 = 289$ , корені $x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 15$ .
Знайдемо відповідні знаменники: при $x = 2, y = 5$ ; при $x = - 15, y = - 12$ . Перевіримо скорочуваність: дріб $\frac{2}{5}$ нескоротний, а $\frac{- 15}{- 12} = \frac{5}{4}$ також нескоротний.

Відповідь:

Дріб дорівнює $\frac{2}{5}$ або $\frac{5}{4}$ .

Завдання 727

Продуктивність автоматів

Перший автомат за годину виробляє на 2 деталі менше, ніж другий. Другий виготовляє 156 деталей на 2 години швидше, ніж перший — 150 деталей. Знайти продуктивність кожного автомата.

Розв’язання

Позначимо продуктивність першого автомата $x$ , другого $y$ . За умовою $y = x + 2$ .
Перший автомат виготовляє 150 деталей за час $\frac{150}{x}$ . Другий — 156 деталей за час $\frac{156}{y}$ .
За умовою другий автомат працює на 2 години швидше: $\frac{150}{x} - \frac{156}{y} = 2$ .
Підставимо $y = x + 2$ у рівняння: $\frac{150}{x} - \frac{156}{x + 2} = 2$ . Помножимо на $x (x + 2)$ : $150 (x + 2) - 156 x = 2 x (x + 2)$ .
Спростимо: $150 x + 300 - 156 x = 2 x^{2} + 4 x \Rightarrow 2 x^{2} + 10 x - 300 = 0 \Rightarrow x^{2} + 5 x - 150 = 0$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння: $D = 25 + 600 = 625$ , $D = 25$ . Корені: $x_{1} = \frac{- 5 + 25}{2} = 10$ , $x_{2} = \frac{- 5 - 25}{2} = - 15$ (відкидаємо).
Знаходимо $y$ : $y = 10 + 2 = 12$ . Перевірка: $\frac{150}{10} - \frac{156}{12} = 15 - 13 = 2$ год.

Відповідь:

Перший автомат виготовляє 10 деталей на годину, другий — 12 деталей на годину.

Завдання 728

Задача про роботу двох команд

Перша команда щодня виготовляє на 9 деталей більше, ніж друга. Для виробництва 588 деталей першій команді потрібно на 3 дні менше часу, ніж другій команді для виробництва 600 деталей. Знайти кількість деталей, що виробляє кожна команда за день.

Розв’язання

Запишемо основні співвідношення: $x = y + 9$ (швидкість першої більша на 9) та $\frac{588}{x} = \frac{600}{y} - 3$ (час першої менший на 3 дні).
Замістимо $x$ у другому рівнянні виразом через $y$ : $\frac{588}{y + 9} = \frac{600}{y} - 3$ .
Розв'яжемо раціональне рівняння: помножимо на $y (y + 9)$ , отримаємо $588 y = 600 (y + 9) - 3 y (y + 9)$ . Спростимо до вигляду квадратного рівняння $3 y^{2} - 12 y - 5400 = 0$ , поділимо на 3: $y^{2} - 4 y - 1800 = 0$ .
Знайдемо корені: $D = 16 + 7200 = 7216$ (приблизно), або перевіримо цілі корені для рівняння $y^{2} - 4 y - 1800 = 0$ . Корені: $y_{1} = - 42$ , $y_{2} = 40$ . Оскільки швидкість не може бути від'ємною, $y = 40$ .
Знайдемо $x$ : $x = 40 + 9 = 49$ . Перевірка: $\frac{588}{49} = 12$ днів, $\frac{600}{40} = 15$ днів. Різниця $15 - 12 = 3$ дні — умову виконано.

Відповідь:

Перша команда виготовляє 49 деталей на добу, друга — 40 деталей.

Завдання 729

Задача про рух автомобіля та автобуса

Відстань між пунктами А і В становить 280 км. Автомобіль і автобус виїхали одночасно назустріч і зустрілися через 2 години. Після зустрічі вони рухалися далі до протилежних пунктів. Автобус прибув у пункт А на 1 год 10 хв ( $\frac{7}{6}$ год) пізніше, ніж автомобіль у пункт В. Знайти швидкості транспортних засобів.

Розв’язання

Запишемо рівняння для руху до зустрічі: $(v_{1} + v_{2}) \cdot 2 = 280$ , звідси $v_{1} + v_{2} = 140$ .
Визначимо часи після зустрічі. Швидкість автобуса $v_{2}$ проїхала шлях автомобіля ( $S_{A} = 2 v_{1}$ ), а швидкість автомобіля $v_{1}$ — шлях автобуса ( $S_{B} = 2 v_{2}$ ). Часи: $t_{автобус} = \frac{2 v _{1}}{v _{2}}$ , $t_{авто} = \frac{2 v _{2}}{v _{1}}$ .
Запишемо умову про різницю часу: $\frac{2 v _{1}}{v _{2}} - \frac{2 v _{2}}{v _{1}} = \frac{7}{6}$ (1 год 10 хв).
Замістимо $v_{1} = 140 - v_{2}$ у друге рівняння і розв'яжемо відносно $v_{2}$ . Після перетворень отримаємо квадратне рівняння, корені якого дають швидкості.

Відповідь:

Швидкість автомобіля 100 км/год, швидкість автобуса 40 км/год.

Завдання 730

Задача про рух велосипедистів

Відстань між пунктами А і В — 27 км. Два велосипедисти виїхали одночасно назустріч і зустрілися через 1 годину. Після зустрічі вони продовжили рух до протилежних пунктів. Один з них прибув у пункт А на 27 хв ( $\frac{9}{20}$ год) раніше, ніж другий у пункт В. Знайти швидкість кожного велосипедиста.

Розв’язання

Запишемо рівняння для руху до зустрічі: $(v_{1} + v_{2}) \cdot 1 = 27$ .
Визначимо часи після зустрічі. Швидкість $v_{1}$ проїхала шлях $S_{B} = 1 \cdot v_{2}$ , швидкість $v_{2}$ — шлях $S_{A} = 1 \cdot v_{1}$ . Часи: $t_{1} = \frac{v _{2}}{v _{1}}$ , $t_{2} = \frac{v _{1}}{v _{2}}$ .
Запишемо умову про різницю часу (перший прибув раніше): $\frac{v _{1}}{v _{2}} - \frac{v _{2}}{v _{1}} = \frac{9}{20}$ (27 хв).
Розв'яжемо систему: $v_{1} + v_{2} = 27$ та $\frac{v _{1}^{2} - v _{2}^{2}}{v _{1} v _{2}} = \frac{9}{20}$ . Підставимо $v_{2} = 27 - v_{1}$ , розв'яжемо квадратне рівняння.

Відповідь:

Швидкість першого велосипедиста 20 км/год, другого — 7 км/год.

Завдання 731

Швидкості автомобілів

Відстань між містами — $360 км$ . Два автомобілі виїхали одночасно. Через $2 год$ перший проїхав на $20 км$ більше, ніж другий. Перший прибув на $30 хв$ раніше, ніж другий. Знайти швидкість кожного автомобіля.

Розв’язання

Запишемо рівняння для шляху кожного автомобіля за $2 год$ : $S_{1} = 2 v_{1}$ , $S_{2} = 2 v_{2}$ .
Складемо рівняння різниці шляхів: $2 v_{1} - 2 v_{2} = 20$ , звідси $v_{1} - v_{2} = 10$ (перший швидший на $10 км / год$ ).
Знайдемо час руху кожного автомобіля до кінця шляху: $t_{1} = \frac{360}{v _{1}}$ , $t_{2} = \frac{360}{v _{2}}$ .
Врахуємо різницю часу: $t_{2} - t_{1} = 30 хв = 0, 5 год$ . Отримаємо рівняння $\frac{360}{v _{2}} - \frac{360}{v _{1}} = 0, 5$ .
Замінимо $v_{1}$ на $(v_{2} + 10)$ у другому рівнянні і розв'яжемо систему відносно $v_{2}$ : $\frac{360}{v _{2}} - \frac{360}{v _{2} + 10} = 0, 5$ .
Розкриємо дужки: $360 (v_{2} + 10) - 360 v_{2} = 0, 5 v_{2} (v_{2} + 10)$ , що дає $3600 = 0, 5 v_{2}^{2} + 5 v_{2}$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння $v_{2}^{2} + 10 v_{2} - 7200 = 0$ : $D = 100 + 28800 = 28900$ , $D = 170$ .
Знаходимо корені: $v_{2} = \frac{- 10 \pm 170}{2}$ . Від'ємне значення відкидаємо, отже $v_{2} = 85 км / год$ . Тоді $v_{1} = 95 км / год$ .

Відповідь:

Швидкість першого автомобіля — $95 км / год$ , другого — $85 км / год$ .

Завдання 732

Швидкості велосипедистів

Відстань між містами — $90 км$ . Перший прибув на $1 год$ раніше, ніж другий. За $3 год$ перший проїжджає на $24 км$ більше, ніж другий за $2 год$ . Знайти швидкість кожного велосипедиста.

Розв’язання

Позначимо швидкість першого велосипедиста через $v_{1}$ , другого — через $v_{2}$ . Час їхнього руху: $t_{1} = \frac{90}{v _{1}}$ , $t_{2} = \frac{90}{v _{2}}$ .
Врахуємо різницю часу прибуття: $t_{2} - t_{1} = 1$ , тобто $\frac{90}{v _{2}} - \frac{90}{v _{1}} = 1$ .
Розглянемо умову про шляхи за певний час: $3 v_{1} - 2 v_{2} = 24$ .
З другого рівняння виразимо $v_{1}$ : $3 v_{1} = 2 v_{2} + 24 \Rightarrow v_{1} = \frac{2}{3} v_{2} + 8$ .
Підставимо цей вираз у перше рівняння: $\frac{90}{v _{2}} - \frac{90}{\frac{2}{3} v _{2} + 8} = 1$ .
Спростимо дріб у другому доданку: $\frac{90}{\frac{2 v _{2} + 24}{3}} = \frac{270}{2 v _{2} + 24}$ . Рівняння стає $\frac{90}{v _{2}} - \frac{270}{2 v _{2} + 24} = 1$ .
Помножимо на спільний знаменник $v_{2} (2 v_{2} + 24)$ : $90 (2 v_{2} + 24) - 270 v_{2} = v_{2} (2 v_{2} + 24)$ .
Розкриємо дужки: $180 v_{2} + 2160 - 270 v_{2} = 2 v_{2}^{2} + 24 v_{2}$ . Спростимо: $- 90 v_{2} + 2160 = 2 v_{2}^{2} + 24 v_{2}$ .
Перенесемо все в одну сторону: $2 v_{2}^{2} + 114 v_{2} - 2160 = 0$ . Ділимо на $2$ : $v_{2}^{2} + 57 v_{2} - 1080 = 0$ .
Знаходимо дискримінант: $D = 5 7^{2} - 4 \cdot (- 1080) = 3249 + 4320 = 7569$ . $7569 = 87$ .
Корені: $v_{2} = \frac{- 57 \pm 87}{2}$ . Від'ємне значення відкидаємо, $v_{2} = \frac{30}{2} = 15 км / год$ .
Знаходимо $v_{1}$ : $v_{1} = \frac{2}{3} \cdot 15 + 8 = 10 + 8 = 18 км / год$ . Перевірка: $\frac{90}{15} - \frac{90}{18} = 6 - 5 = 1$ (правильно).

Відповідь:

Швидкість першого велосипедиста — $18 км / год$ , другого — $15 км / год$ .

Завдання 733

Швидкість катера та течії

Катер за $9 год$ пройшов $100 км$ за течією і $64 км$ проти течії. За той самий час ( $9 год$ ) він пройшов $80 км$ за течією і $80 км$ проти течії. Знайти власну швидкість катера та швидкість течії.

Розв’язання

Позначимо власну швидкість катера через $v$ , швидкість течії — через $u$ . Швидкості руху: за течією $v + u$ , проти течії $v - u$ .
Складемо рівняння для першого випадку (сума часів дорівнює $9 год$ ): $\frac{100}{v + u} + \frac{64}{v - u} = 9$ .
Складемо рівняння для другого випадку: $\frac{80}{v + u} + \frac{80}{v - u} = 9$ .
Позначимо $x = v + u$ і $y = v - u$ . Система виглядає так: $\frac{100}{x} + \frac{64}{y} = 9$ та $\frac{80}{x} + \frac{80}{y} = 9$ .
Розв'яжемо систему відносно $x$ і $y$ . З другого рівняння: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{80}$ . Помножимо перше рівняння на $0, 8$ : $\frac{80}{x} + \frac{51 , 2}{y} = 7, 2$ . Це складніше.
Спробуємо підібрати розв'язок або розв'язати через дискримінант. З другого рівняння: $\frac{80}{x} + \frac{80}{y} = 9 \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{80}$ .
Помножимо перше рівняння на $0, 8$ : $\frac{80}{x} + \frac{51 , 2}{y} = 7, 2$ . Віднімемо друге рівняння (помножене на $1$ ): $(\frac{80}{x} - \frac{80}{x}) + (\frac{51 , 2}{y} - \frac{80}{y}) = 7, 2 - 9$ .
Отримаємо: $\frac{- 28 , 8}{y} = - 1, 8 \Rightarrow y = \frac{28 , 8}{1 , 8} = 16$ . Тобто $v - u = 16 км / год$ .
Підставимо $y = 16$ у друге рівняння: $\frac{80}{x} + \frac{80}{16} = 9 \Rightarrow \frac{80}{x} + 5 = 9 \Rightarrow \frac{80}{x} = 4 \Rightarrow x = 20$ . Тобто $v + u = 20 км / год$ .
Складемо систему: $v - u = 16$ , $v + u = 20$ . Додамо рівняння: $2 v = 36 \Rightarrow v = 18$ . Віднімемо: $- 2 u = - 4 \Rightarrow u = 2$ .

Відповідь:

Власна швидкість катера — $18 км / год$ , швидкість течії — $2 км / год$ .