ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 146

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 712–724 · 13 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 14. Розв’язування задач складанням систем

Завдання 712

Побудова задач за системами рівнянь

Склади задачу, математичною моделлю якої були б системи рівнянь: а) ${x + y = 5 x y = 6$ ; б) ${x - y = 3 x y = 40$ ; в) ${x + y = 7 x^{2} + y^{2} = 25$ .

Розв’язання

Для пункту а): Придумай задачу про два числа, сума яких 5, а добуток 6 (наприклад, дві частини відрізка).
Для пункту б): Склади задачу про вік батька і сина, де різниця віку 3 роки, а добуток їхніх віків — 40 років.
Для пункту в): Оскільки $x^{2} + y^{2}$ часто зустрічається у формулі для квадрата гіпотенузи ( $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ), сформулюй задачу про катети прямокутного трикутника, де сума катетів 7, а сума квадратів (квадрат гіпотенузи) дорівнює 25.

Відповідь:

а) Знайти два числа, сума яких дорівнює 5, а добуток — 6; б) Знайти віки двох людей, різниця між якими становить 3 роки, а добуток їхніх віків дорівнює 40; в) Знайти катети прямокутного трикутника, сума яких дорівнює 7, а квадрат гіпотенузи — 25.

Завдання 713

Побудова моделей для задачі про числа

Склади кілька різних моделей (рівнянь або систем) для задачі: «Знайди два числа, сума яких дорівнює 15, а добуток — 56».

Розв’язання

Познач числа $x$ і $y$ . Запиши систему: ${x + y = 15 x y = 56$ .
З першого рівняння вирази $y = 15 - x$ . Підстав це у друге рівняння: $x (15 - x) = 56$ , що дає квадратне рівняння $x^{2} - 15 x + 56 = 0$ .

Відповідь:

Модель 1: система ${x + y = 15 x y = 56$ ; Модель 2: квадратне рівняння $t^{2} - 15 t + 56 = 0$ , де $t$ — одне з чисел.

Завдання 714

Знаходження двох чисел за сумою та добутком

Знайти два числа, сума яких дорівнює 21, а добуток становить 90.

Розв’язання

Познач числа $x$ і $y$ . Запишемо систему: ${x + y = 21 x y = 90$ .
З першого рівняння виразимо $y = 21 - x$ і підставимо у друге: $x (21 - x) = 90$ , що дає $x^{2} - 21 x + 90 = 0$ .
Розв'яжемо квадратне рівняння за формулою коренів або через дискримінант: $D = (- 21)^{2} - 4 \cdot 90 = 441 - 360 = 81$ . Корені: $x_{1} = \frac{21 - 9}{2} = 6$ , $x_{2} = \frac{21 + 9}{2} = 15$ .

Відповідь:

Числа 6 і 15.

Завдання 715

Знаходження двох чисел за сумою та добутком

Знайти два числа, різниця яких дорівнює $1, 1$ , а добуток — $0, 6$ .

Розв’язання

Запишемо систему рівнянь: ${x - y = 1, 1 x y = 0, 6$ .
Знайдемо суму $x + y$ : піднесемо перше рівняння до квадрата: $(x - y)^{2} = (x + y)^{2} - 4 x y$ , отже, $(1, 1)^{2} = (x + y)^{2} - 4 \cdot 0, 6$ .
Обчислимо: $1, 21 = (x + y)^{2} - 2, 4 \Rightarrow (x + y)^{2} = 3, 61 \Rightarrow x + y = 1, 9$ (беремо додатний корінь, оскільки сума більша за різницю).
Розв'яжемо систему ${x + y = 1, 9 x - y = 1, 1$ : додаємо рівняння: $2 x = 3 \Rightarrow x = 1, 5$ ; віднімаємо: $2 y = 0, 8 \Rightarrow y = 0, 4$ .

Відповідь:

Числа дорівнюють $1, 5$ і $0, 4$ .

Завдання 716

Знаходження чисел за сумою та сумою квадратів

Знайти два числа, сума яких дорівнює $31$ , а сума їх квадратів — $625$ .

Розв’язання

Знайдемо добуток $x y$ : $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y \Rightarrow 3 1^{2} = 625 + 2 x y \Rightarrow 961 = 625 + 2 x y$ .
Обчислимо: $2 x y = 336 \Rightarrow x y = 168$ .
Складемо квадратне рівняння для знаходження чисел: $t^{2} - (x + y) t + x y = 0 \Rightarrow t^{2} - 31 t + 168 = 0$ .
Знайдемо корені: $D = (- 31)^{2} - 4 \cdot 168 = 961 - 672 = 289$ ; $D = 17$ . Корені: $t_{1} = \frac{31 + 17}{2} = 24$ , $t_{2} = \frac{31 - 17}{2} = 8$ .

Відповідь:

Числа дорівнюють $24$ і $8$ .

Завдання 717

Знаходження чисел за середнім геометричним та різницею

Середнє геометричне двох чисел дорівнює $3$ . Знайдіть ці числа, якщо одне з них більше від другого на $9, 1$ .

Розв’язання

Запишемо систему: ${x y = 3^{2} x - y = 9, 1 \Rightarrow {x y = 9 x - y = 9, 1$ .
Знайдемо суму $x + y$ : $(x - y)^{2} = (x + y)^{2} - 4 x y \Rightarrow (9, 1)^{2} = (x + y)^{2} - 36 \Rightarrow 82, 81 + 36 = (x + y)^{2} \Rightarrow (x + y)^{2} = 118, 81$ .
Знаходимо суму: $x + y = 118, 81 = 10, 9$ (беремо додатний корінь).
Розв'яжемо систему ${x + y = 10, 9 x - y = 9, 1$ : додаємо рівняння: $2 x = 20 \Rightarrow x = 10$ ; віднімаємо: $2 y = 1, 8 \Rightarrow y = 0, 9$ .

Відповідь:

Числа дорівнюють $10$ і $0, 9$ .

Завдання 718

Прямокутний трикутник за периметром і гіпотенузою

Периметр прямокутного трикутника дорівнює $90 см$ , а гіпотенуза — $41 см$ . Знайти катети.

Розв’язання

Позначимо катети $x$ і $y$ . За умовою маємо систему: ${x + y + 41 = 90 x^{2} + y^{2} = 4 1^{2}$ .
Спростимо перше рівняння: $x + y = 49$ , звідси $y = 49 - x$ .
Підставимо вираз для $y$ у друге рівняння: $x^{2} + (49 - x)^{2} = 1681$ .
Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: $x^{2} + 2401 - 98 x + x^{2} = 1681 \Rightarrow 2 x^{2} - 98 x + 720 = 0$ .
Розділимо рівняння на 2: $x^{2} - 49 x + 360 = 0$ . Знайдемо корені за формулою або способом групування: $(x - 9) (x - 40) = 0$ . Отже, $x_{1} = 9$ , $x_{2} = 40$ .
Знайдемо відповідні значення для $y$ : якщо $x = 9$ , то $y = 40$ ; якщо $x = 40$ , то $y = 9$ .

Відповідь:

Катети дорівнюють $9 см$ і $40 см$ .

Завдання 719

Знаходження двох чисел за їх сумою/різницею та квадратів

а) різниця чисел — $2$ , різниця квадратів — $88$ ; б) півсума чисел — $9, 5$ , сума квадратів — $185$ .

Розв’язання

а) 1. Складемо систему: ${x - y = 2 x^{2} - y^{2} = 88$ .
Розкладемо друге рівняння на множники: $(x - y) (x + y) = 88$ .
Підставимо $x - y = 2$ : $2 (x + y) = 88 \Rightarrow x + y = 44$ .
Складімо нову систему: ${x - y = 2 x + y = 44$ . Додамо рівняння: $2 x = 46 \Rightarrow x = 23$ . Знайдемо $y$ : $y = 44 - 23 = 21$ .
б) 1. Складемо систему: ${\frac{x + y}{2} = 9, 5 x^{2} + y^{2} = 185$ .
Помножимо перше рівняння на 2: $x + y = 19$ , звідси $y = 19 - x$ .
Підставимо у друге рівняння: $x^{2} + (19 - x)^{2} = 185$ .
Розкриємо дужки: $x^{2} + 361 - 38 x + x^{2} = 185 \Rightarrow 2 x^{2} - 38 x + 176 = 0$ .
Поділимо на 2: $x^{2} - 19 x + 88 = 0$ . Корені: $(x - 8) (x - 11) = 0$ , отже $x_{1} = 8, x_{2} = 11$ .
Знайдемо $y$ : якщо $x = 8$ , то $y = 11$ ; якщо $x = 11$ , то $y = 8$ .

Відповідь:

а) числа $23$ і $21$ ; б) числа $8$ і $11$ .

Завдання 720

Катети прямокутного трикутника за гіпотенузою/периметром та площею

а) гіпотенуза — $13 дм$ , площа — $30 дм^{2}$ ; б) периметр — $30 см$ , сума катетів — $17 см$ .

Розв’язання

а) 1. Позначимо катети $x$ і $y$ . Маємо систему: ${x^{2} + y^{2} = 1 3^{2} \frac{x y}{2} = 30$ .
Спростимо друге рівняння: $x y = 60$ .
Знайдемо суму катетів через $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y$ : $(x + y)^{2} = 169 + 120 = 289$ .
Отже, $x + y = 289 = 17$ . Складімо систему: ${x + y = 17 x y = 60$ .
Числа, сума яких $17$ , а добуток $60$ : це корені рівняння $t^{2} - 17 t + 60 = 0$ . Корені: $3$ і $4$ .
б) 1. Позначимо катети $x$ і $y$ . Маємо систему: ${x + y + c = 30 x^{2} + y^{2} = c^{2}$ .
З умови про суму катетів маємо $x + y = 17$ . Тоді з першого рівняння $c = 30 - 17 = 13$ .
Підставимо $c = 13$ у друге рівняння: $x^{2} + y^{2} = 169$ .
Знайдемо добуток катетів через $(x + y)^{2}$ : $x^{2} + y^{2} + 2 x y = 289 \Rightarrow 169 + 2 x y = 289 \Rightarrow 2 x y = 120 \Rightarrow x y = 60$ .
Складімо систему: ${x + y = 17 x y = 60$ . Це та сама система, що й у пункті а).

Відповідь:

а) катети $3 дм$ і $4 дм$ ; б) катети $3 см$ і $4 см$ .

Завдання 721

Сторони прямокутника за діагоналлю та площею

Знайти сторони прямокутника, якщо його діагональ дорівнює $10 м$ , а площа — $48 м^{2}$ .

Розв’язання

Позначимо сторони прямокутника $x$ і $y$ . За умовою маємо систему: ${x y = 48 x^{2} + y^{2} = 10$ .
Піднесемо друге рівняння до квадрата: $x^{2} + y^{2} = 100$ . Використаємо тотожність $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y$ . Знайдемо суму сторін: $(x + y)^{2} = 100 + 2 \cdot 48 = 196$ , отже $x + y = 14$ (бо сума сторін додатна).
Розв'яжемо систему ${x + y = 14 x y = 48$ . Це квадратне рівняння $t^{2} - 14 t + 48 = 0$ . Дискримінант $D = 196 - 192 = 4$ , корені $t_{1} = 6, t_{2} = 8$ .

Відповідь:

Сторони прямокутника дорівнюють $6 м$ і $8 м$ .

Завдання 722

Сторони квадратів рамки за площею та зв'язком сторін

Внутрішній і зовнішній контури рамки — квадрати. Сторона одного з них дорівнює діагоналі другого (мал. 14.4). Площа рамки дорівнює $32 см^{2}$ . Знайти сторони цих квадратів.

Розв’язання

Позначимо сторону внутрішнього квадрата $x$ і зовнішнього $y$ . Площа рамки: $y^{2} - x^{2} = 32$ . З умови малюнка (діагональ одного дорівнює стороні іншого) маємо зв'язок: якщо взяти менший квадрат, то його діагональ $2 x$ дорівнює стороні більшого квадрата $y$ , отже $y = 2 x$ .
Підставимо $y = 2 x$ у рівняння площі: $(2 x)^{2} - x^{2} = 32 \Rightarrow 2 x^{2} - x^{2} = 32 \Rightarrow x^{2} = 32$ .
Знайдемо сторони: $x = 32 = 42 см$ , а $y = 2 \cdot 42 = 8 см$ .

Відповідь:

Сторона внутрішнього квадрата — $42 см$ , сторона зовнішнього квадрата — $8 см$ .

Завдання 723

Радіуси кільця за різницею радіусів та площею

Знайти внутрішній і зовнішній радіуси кільця, якщо їх різниця дорівнює $5 см$ , а площа кільця — $125 π см^{2}$ (мал. 14.5).

Розв’язання

Запишемо систему: ${R - r = 5 π (R^{2} - r^{2}) = 125 π$ . Спростимо друге рівняння, поділивши на $π$ : $R^{2} - r^{2} = 125$ .
Використаємо тотожність $R^{2} - r^{2} = (R - r) (R + r)$ . Підставимо відомі значення: $5 (R + r) = 125$ , звідси $R + r = 25$ .
Розв'яжемо систему ${R - r = 5 R + r = 25$ . Додамо рівняння: $2 R = 30 \Rightarrow R = 15$ . Віднімемо: $- 2 r = - 20 \Rightarrow r = 10$ .

Відповідь:

Внутрішній радіус — $10 см$ , зовнішній радіус — $15 см$ .

Завдання 724

Ребра паралелепіпеда за об'ємом, площею та одним ребром

Бака у формі прямокутного паралелепіпеда довжина одного з ребер (довжина) дорівнює $8 дм$ . Площа поверхні бака — $158 дм^{2}$ , а його об'єм — $120 дм^{3}$ . Знайти довжини двох інших ребер (ширину та висоту).

Розв’язання

Позначимо шукані ребра як $b$ (ширина) і $c$ (висота). Відомо, що одне ребро $a = 8 дм$ .
Запишемо формулу для об'єму: $V = a \cdot b \cdot c$ . Підставимо числа: $120 = 8 \cdot b \cdot c$ , звідси $b \cdot c = 15$ .
Запишемо формулу для площі поверхні: $S = 2 (ab + a c + b c)$ . Підставимо числа та вираз $b c = 15$ : $158 = 2 (8 b + 8 c + 15)$ .
Розв'яжемо рівняння відносно суми $b + c$ : ділимо на 2 ( $79 = 8 (b + c) + 15$ ), віднімаємо 15 ( $64 = 8 (b + c)$ ), ділимо на 8 ( $b + c = 8$ ).
Маємо систему: ${b \cdot c = 15 b + c = 8$ . Це квадратне рівняння $t^{2} - (b + c) t + b c = 0$ , тобто $t^{2} - 8 t + 15 = 0$ .
Знаходимо корені: $(t - 3) (t - 5) = 0$ , отже $b = 3, c = 5$ або навпаки.

Відповідь:

Довжини ребер бака дорівнюють $8 дм$ , $3 дм$ та $5 дм$ .