Завдання 803, § 15. Послідовність Sequence — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 803

Доведення властивості трикутних чисел

Доказати, що $n$ -й член послідовності трикутних чисел ( $1, 3, 6, 10, \dots$ ) дорівнює сумі перших $n$ натуральних чисел.

Розв’язання

Перший член ( $n = 1$ ): сума перших 1 числа — це 1. Формула суми дає $\frac{1 ( 1 + 1 )}{2} = 1$ . Збігається.
Другий член ( $n = 2$ ): сума $1 + 2 = 3$ . Формула: $\frac{2 ( 1 + 2 )}{2} = 3$ . Збігається.
Третій член ( $n = 3$ ): сума $1 + 2 + 3 = 6$ . Формула: $\frac{3 ( 1 + 3 )}{2} = 6$ . Збігається.
Загальний випадок: Сума перших $n$ натуральних чисел дорівнює $i = 1 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . Це і є формула $n$ -го члена трикутної послідовності.

Відповідь:

Доведено, що $a_{n} = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 15. Послідовність Sequence Завдання 803 с. 162

Доведення властивості трикутних чисел

Умова

Доказати, що $n$ -й член послідовності трикутних чисел ( $1, 3, 6, 10, \dots$ ) дорівнює сумі перших $n$ натуральних чисел.

Що треба знати

Трикутні числа утворюються додаванням послідовних цілих чисел починаючи з 1. Сума арифметичної прогресії обчислюється за формулою $\frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Запиши перші кілька членів послідовності та порівняй їх зі сумою $1 + 2 + \dots + n$ . Спробуй довести це за допомогою математичної індукції або просто алгебраїчно.

Розв’язання крок за кроком

Перший член ( $n = 1$ ): сума перших 1 числа — це 1. Формула суми дає $\frac{1 ( 1 + 1 )}{2} = 1$ . Збігається.
Другий член ( $n = 2$ ): сума $1 + 2 = 3$ . Формула: $\frac{2 ( 1 + 2 )}{2} = 3$ . Збігається.
Третій член ( $n = 3$ ): сума $1 + 2 + 3 = 6$ . Формула: $\frac{3 ( 1 + 3 )}{2} = 6$ . Збігається.
Загальний випадок: Сума перших $n$ натуральних чисел дорівнює $i = 1 \sum n i = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . Це і є формула $n$ -го члена трикутної послідовності.

Відповідь:

Доведено, що $a_{n} = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

Розбір зрозумілий?