Завдання 802, § 15. Послідовність Sequence — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 802

Знайти формулу послідовності за першими членами

Дано ряди чисел (пункти а–д). Потрібно знайти загальну формулу $a_{n}$ для кожного з них.

Розв’язання

а) Різниця між сусідніми членами ( $5 - 2 = 3, 8 - 5 = 3$ ) стала і дорівнює 3. Перший член при $n = 1$ дорівнює 2. Формула: $a_{n} = 3 n - 1$ .
б) Кожний наступний член у 2 рази більший за попередній ( $4/2 = 2, 8/4 = 2$ ). Це геометрична прогресія з першим членом 2 і знаменником 2. Формула: $a_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}$ .
в) Члени чергуються між 1 та -1 ( $1, - 1, 1$ ). Це знак мінус у степені. Формула: $a_{n} = (- 1)^{n + 1}$ .
г) Члени чергуються між 1 та 0 ( $1, 0, 1$ ). При парних номерах значення 0, при непарних — 1. Формула: $a_{n} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2}$ .
ґ) Дріби мають вигляд $\frac{n}{n ^{2}}$ ? Ні, дивимось уважніше: $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \dots$ . Чисельник збігається з номером члена ( $0$ при $n = 1$ ? Ні, тут перший член 0, другий $\frac{1}{2}$ ). Перепишемо ряд: $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \dots$ . Для $n = 1$ маємо 0. Для $n = 2$ маємо $\frac{1}{2}$ . Для $n = 3$ маємо $\frac{2}{3}$ . Загальний вигляд: чисельник $n - 1$ , знаменник $n$ . Формула: $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ .
д) Дріби: $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \dots$ . Перепишемо як $\frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}$ . Чисельник дорівнює $n + 1$ , знаменник — $n$ . Формула: $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ .

Відповідь:

а) $a_{n} = 3 n - 1$ ; б) $a_{n} = 2^{n}$ ; в) $a_{n} = (- 1)^{n + 1}$ ; г) $a_{n} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2}$ ; ґ) $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ ; д) $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 15. Послідовність Sequence Завдання 802 с. 162

Знайти формулу послідовності за першими членами

Умова

Дано ряди чисел (пункти а–д). Потрібно знайти загальну формулу $a_{n}$ для кожного з них.

Що треба знати

Аналізуємо різницю між сусідніми членами або відношення послідовних членів. Якщо різниця стала — це арифметична прогресія, якщо відношення стало — геометрична. Для дробів перевіряємо зв'язок між знаменником і номером $n$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Порівняй числа в кожному пункті з номером члена $n$ (1-ше число при $n = 1$ , 2-ге при $n = 2$ тощо). Спробуй виразити $a_{n}$ через $n$ .

Розв’язання крок за кроком

а) Різниця між сусідніми членами ( $5 - 2 = 3, 8 - 5 = 3$ ) стала і дорівнює 3. Перший член при $n = 1$ дорівнює 2. Формула: $a_{n} = 3 n - 1$ .
б) Кожний наступний член у 2 рази більший за попередній ( $4/2 = 2, 8/4 = 2$ ). Це геометрична прогресія з першим членом 2 і знаменником 2. Формула: $a_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}$ .
в) Члени чергуються між 1 та -1 ( $1, - 1, 1$ ). Це знак мінус у степені. Формула: $a_{n} = (- 1)^{n + 1}$ .
г) Члени чергуються між 1 та 0 ( $1, 0, 1$ ). При парних номерах значення 0, при непарних — 1. Формула: $a_{n} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2}$ .
ґ) Дріби мають вигляд $\frac{n}{n ^{2}}$ ? Ні, дивимось уважніше: $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \dots$ . Чисельник збігається з номером члена ( $0$ при $n = 1$ ? Ні, тут перший член 0, другий $\frac{1}{2}$ ). Перепишемо ряд: $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \dots$ . Для $n = 1$ маємо 0. Для $n = 2$ маємо $\frac{1}{2}$ . Для $n = 3$ маємо $\frac{2}{3}$ . Загальний вигляд: чисельник $n - 1$ , знаменник $n$ . Формула: $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ .
д) Дріби: $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \dots$ . Перепишемо як $\frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}$ . Чисельник дорівнює $n + 1$ , знаменник — $n$ . Формула: $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ .

Відповідь:

а) $a_{n} = 3 n - 1$ ; б) $a_{n} = 2^{n}$ ; в) $a_{n} = (- 1)^{n + 1}$ ; г) $a_{n} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2}$ ; ґ) $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ ; д) $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ .

Розбір зрозумілий?