Завдання 801, § 15. Послідовність Sequence — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 801

Знаходження формули послідовності за початком

Потрібно знайти формулу для послідовностей з пунктів а)–д).

Розв’язання

Пункт а) $2, 5, 8, \dots$ : Різниця $5 - 2 = 3$ , $8 - 5 = 3$ . Це арифметична прогресія з першим членом $a_{1} = 2$ і різницею $d = 3$ . Формула: $a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n - 1$ .
Пункт б) $2, 4, 8, \dots$ : Відношення $4/2 = 2$ , $8/4 = 2$ . Це геометрична прогресія з $a_{1} = 2$ і знаменником $q = 2$ . Формула: $a_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}$ .
Пункт в) $1, - 1, 1, \dots$ : Члени чергуються між $1$ і $- 1$ . Це можна записати як $(- 1)^{n + 1} \cdot 1$ . Формула: $a_{n} = (- 1)^{n + 1}$ .
Пункт г) $1, 0, 1, \dots$ : Члени чергуються між $1$ і $0$ . Можна спробувати формулу через синус або подвійний знак. Наприклад, $a_{n} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2}$ . Перевірка: $n = 1 \Rightarrow (1 + 1) /2 = 1$ ; $n = 2 \Rightarrow (1 - 1) /2 = 0$ .
Пункт ґ) $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \dots$ : Дроби мають вигляд $\frac{n - 1}{n}$ для $n \geq 1$ (для $n = 1$ отримуємо $0/1 = 0$ , що підходить). Формула: $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ .
Пункт д) $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \dots$ : Перший член $2 = \frac{3}{2}$ ? Ні, перший $2$ , другий $\frac{3}{2}$ . Запишемо як $\frac{n + 1}{n}$ для $n = 1$ отримуємо $2/1 = 2$ , для $n = 2$ отримуємо $3/2$ . Формула: $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ .

Відповідь:

а) $a_{n} = 3 n - 1$ ; б) $a_{n} = 2^{n}$ ; в) $a_{n} = (- 1)^{n + 1}$ ; г) $a_{n} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2}$ ; ґ) $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ ; д) $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ .

Розбір зрозумілий?

§ 15. Послідовність Sequence Завдання 801 с. 162

Знаходження формули послідовності за початком

Умова

Потрібно знайти формулу для послідовностей з пунктів а)–д).

Що треба знати

Аналізуємо різницю між сусідніми членами або відношення (для геометричної прогресії), щоб визначити тип послідовності (арифметична, геометрична тощо).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для кожного пункту обчисли різницю $a_{n + 1} - a_{n}$ або знайди закономірність у зміні чисел. Якщо різниця стала — це арифметична прогресія. Якщо відношення стало — геометрична.

Розв’язання крок за кроком

Пункт а) $2, 5, 8, \dots$ : Різниця $5 - 2 = 3$ , $8 - 5 = 3$ . Це арифметична прогресія з першим членом $a_{1} = 2$ і різницею $d = 3$ . Формула: $a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n - 1$ .
Пункт б) $2, 4, 8, \dots$ : Відношення $4/2 = 2$ , $8/4 = 2$ . Це геометрична прогресія з $a_{1} = 2$ і знаменником $q = 2$ . Формула: $a_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}$ .
Пункт в) $1, - 1, 1, \dots$ : Члени чергуються між $1$ і $- 1$ . Це можна записати як $(- 1)^{n + 1} \cdot 1$ . Формула: $a_{n} = (- 1)^{n + 1}$ .
Пункт г) $1, 0, 1, \dots$ : Члени чергуються між $1$ і $0$ . Можна спробувати формулу через синус або подвійний знак. Наприклад, $a_{n} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2}$ . Перевірка: $n = 1 \Rightarrow (1 + 1) /2 = 1$ ; $n = 2 \Rightarrow (1 - 1) /2 = 0$ .
Пункт ґ) $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \dots$ : Дроби мають вигляд $\frac{n - 1}{n}$ для $n \geq 1$ (для $n = 1$ отримуємо $0/1 = 0$ , що підходить). Формула: $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ .
Пункт д) $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \dots$ : Перший член $2 = \frac{3}{2}$ ? Ні, перший $2$ , другий $\frac{3}{2}$ . Запишемо як $\frac{n + 1}{n}$ для $n = 1$ отримуємо $2/1 = 2$ , для $n = 2$ отримуємо $3/2$ . Формула: $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ .

Відповідь:

а) $a_{n} = 3 n - 1$ ; б) $a_{n} = 2^{n}$ ; в) $a_{n} = (- 1)^{n + 1}$ ; г) $a_{n} = \frac{1 + ( - 1 ) ^{n + 1}}{2}$ ; ґ) $a_{n} = \frac{n - 1}{n}$ ; д) $a_{n} = \frac{n + 1}{n}$ .

Розбір зрозумілий?