а) an=n2−35; б) an=0,25n2−10,75. Знайти найбільший від'ємний член для кожної послідовності.
Розв’язання
Для пункту а): Розв'яжемо рівняння n2−35=0. Корені: n1=35≈5,9, n2=−35≈−5,9. Оскільки номер члена n має бути натуральним (n∈N), розглядаємо проміжок між коренями: −5,9<n<5,9. Натуральні числа в цьому проміжку: 1,2,3,4,5.
Знайдемо значення an для найближчих до нуля коренів, тобто для n=5 і n=6 (хоча 6 вже дасть додатне). Обчислимо a5=52−35=25−35=−10. Перевіримо наступне натуральне число n=6: a6=62−35=36−35=1 (додатне). Отже, найбільшим від'ємним є a5=−10.
Для пункту б): Розв'яжемо рівняння 0,25n2−10,75=0. Помножимо на 4: n2−43=0⇒n=43≈6,56. Натуральні числа, для яких функція від'ємна: 1,2,3,4,5,6. Найбільше з них — n=6.
Обчислимо значення для n=6: a6=0,25⋅36−10,75=9−10,75=−1,75. Перевіримо наступне число n=7: a7=0,25⋅49−10,75=12,25−10,75=1,5 (додатне). Отже, найбільший від'ємний член — −1,75.
а) an=n2−35; б) an=0,25n2−10,75. Знайти найбільший від'ємний член для кожної послідовності.
Що треба знати
Від'ємним є число, якщо воно менше нуля (an<0). Найбільшим від'ємним буде число, найближче до нуля зліва (наприклад, −1,5 більше за −20, але менше за 0). Оскільки обидві функції параболічні і розкриваються вгору (n2>0), вони мають мінімум у вершині. Потрібно знайти межі, де функція змінює знак на від'ємну.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Спочатку знайди корені рівняння an=0, щоб дізнатися, між якими цілими числами знаходяться від'ємні значення. Потім обчисли значення функції для цих цілих чисел і порівняй їх.
Розв’язання крок за кроком
Для пункту а): Розв'яжемо рівняння n2−35=0. Корені: n1=35≈5,9, n2=−35≈−5,9. Оскільки номер члена n має бути натуральним (n∈N), розглядаємо проміжок між коренями: −5,9<n<5,9. Натуральні числа в цьому проміжку: 1,2,3,4,5.
Знайдемо значення an для найближчих до нуля коренів, тобто для n=5 і n=6 (хоча 6 вже дасть додатне). Обчислимо a5=52−35=25−35=−10. Перевіримо наступне натуральне число n=6: a6=62−35=36−35=1 (додатне). Отже, найбільшим від'ємним є a5=−10.
Для пункту б): Розв'яжемо рівняння 0,25n2−10,75=0. Помножимо на 4: n2−43=0⇒n=43≈6,56. Натуральні числа, для яких функція від'ємна: 1,2,3,4,5,6. Найбільше з них — n=6.
Обчислимо значення для n=6: a6=0,25⋅36−10,75=9−10,75=−1,75. Перевіримо наступне число n=7: a7=0,25⋅49−10,75=12,25−10,75=1,5 (додатне). Отже, найбільший від'ємний член — −1,75.
