Завдання 797, § 15. Послідовність Sequence

Розв’язання крок за кроком

1. Запишемо вираз для $a_{n+1}$: $a_{n+1}=\frac{(n+1)+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}$.

2. Спростимо дріб, розділивши чисельник і знаменник на $(n+1)$: $a_{n+1}=\frac{n+1+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$.

3. Спростимо вираз для $a_n$: $a_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$. Оскільки при збільшенні $n$ дріб $\frac{1}{n}$ зменшується, то $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$, отже $a_{n+1}<a_n$.