Завдання 795, § 15. Послідовність Sequence — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 795

Визначення монотонності послідовностей

Дано формули послідовностей: а) $a_{n} = 9 n - 10$ , б) $b_{n} = 10 - 9 n$ , в) $c_{n} = 5 - n^{2}$ , г) $x_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1}$ , ґ) $z_{n} = n^{2} + 2 n - 3$ , д) $y_{n} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ . Визначити, які з них зростаючі, а які спадні.

Розв’язання

а) $a_{n} = 9 n - 10$ . Це лінійна функція з додатним коефіцієнтом при $n$ ( $k = 9 > 0$ ). Отже, послідовність зростаюча.
б) $b_{n} = 10 - 9 n$ . Коефіцієнт при $n$ від'ємний ( $- 9 < 0$ ). Послідовність спадна.
в) $c_{n} = 5 - n^{2}$ . Старший коефіцієнт при $n^{2}$ від'ємний ( $- 1 < 0$ ). Параболічна функція, що падає для $n > 0$ . Послідовність спадна.
г) $x_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1}$ . Знаменник зростає ( $n^{2} + 1$ ), тому дріб стає меншим при збільшенні $n$ . Послідовність спадна.
ґ) $z_{n} = n^{2} + 2 n - 3$ . Старший коефіцієнт додатний, а вершина параболу знаходиться за межами натуральних чисел (або просто монотонно зростає для $n \geq 1$ ). Послідовність зростаюча.
д) $y_{n} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ . Спростимо: $\frac{3 ( n + 2 ) - 2}{n + 2} = 3 - \frac{2}{n + 2}$ . Дріб $\frac{2}{n + 2}$ спадає, тому віднімання його дає зростання. Послідовність зростаюча.

Відповідь:

а) зростаюча; б) спадна; в) спадна; г) спадна; ґ) зростаюча; д) зростаюча.

Розбір зрозумілий?

§ 15. Послідовність Sequence Завдання 795 с. 162

Визначення монотонності послідовностей

Умова

Що треба знати

Послідовність зростає, якщо $a_{n + 1} > a_{n}$ (або $a_{n + 1} - a_{n} > 0$ ). Спадна, якщо $a_{n + 1} < a_{n}$ . Для многочленів це залежить від знаку старшого коефіцієнта.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розглянь різницю сусідніх членів або проаналізуй поведінку функції для кожного випадку окремо.

Розв’язання крок за кроком

а) $a_{n} = 9 n - 10$ . Це лінійна функція з додатним коефіцієнтом при $n$ ( $k = 9 > 0$ ). Отже, послідовність зростаюча.
б) $b_{n} = 10 - 9 n$ . Коефіцієнт при $n$ від'ємний ( $- 9 < 0$ ). Послідовність спадна.
в) $c_{n} = 5 - n^{2}$ . Старший коефіцієнт при $n^{2}$ від'ємний ( $- 1 < 0$ ). Параболічна функція, що падає для $n > 0$ . Послідовність спадна.
г) $x_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1}$ . Знаменник зростає ( $n^{2} + 1$ ), тому дріб стає меншим при збільшенні $n$ . Послідовність спадна.
ґ) $z_{n} = n^{2} + 2 n - 3$ . Старший коефіцієнт додатний, а вершина параболу знаходиться за межами натуральних чисел (або просто монотонно зростає для $n \geq 1$ ). Послідовність зростаюча.
д) $y_{n} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ . Спростимо: $\frac{3 ( n + 2 ) - 2}{n + 2} = 3 - \frac{2}{n + 2}$ . Дріб $\frac{2}{n + 2}$ спадає, тому віднімання його дає зростання. Послідовність зростаюча.

Відповідь:

а) зростаюча; б) спадна; в) спадна; г) спадна; ґ) зростаюча; д) зростаюча.

Розбір зрозумілий?