Завдання 793, § 15. Послідовність Sequence

Розв’язання крок за кроком

1. а) Шукаємо $n$ так, щоб $7n-2$ закінчувалося на 0 (тобто ділилося на 10). Спробуємо невеликі значення $n$: при $n=4$ маємо $7\cdot 4-2=26$, при $n=8$ — $54$. Загальний вигляд: $7n\equiv 2(\mathrm{mod}10)$. Оскільки $7\cdot 6=42\equiv 2$, то $n=6+10k$. Для $n=6$: $a_6=40$ (закінчується на 0).

2. б) Перевіряємо ділятьність на 13: $7n-2\equiv 0(\mathrm{mod}13)\Rightarrow 7n\equiv 2(\mathrm{mod}13)$. Множник 7 обертається за модулем 13 як 2 (оскільки $7\cdot 2=14\equiv 1$). Отже, $n\equiv 2\cdot 2=4(\mathrm{mod}13)$. При $n=4$: $a_4=26$, що ділиться на 13.

3. в) Шукаємо числа, парні ($7n-2$ завжди парне, оскільки $7n$ і $2$ мають різну парність тільки якщо $n$ непарне? Ні: $7n-2$ парне $\iff 7n$ парне $\iff n$ парне). Нехай $n=2k$. Тоді $a_n=14k-2$. Перевіримо ділятьність на 3: $14k-2\equiv k+1(\mathrm{mod}3)$. Щоб не ділилося на 3, треба $k+1\not\equiv 0$, тобто $k\not\equiv 2$. Візьмемо $n=2$ ($k=1$): $a_2=12$ (ділиться на 2 і на 3). Візьмемо $n=4$: $a_4=26$ (ділиться на 2, не ділиться на 3).

4. г) Розглядаємо рівняння $7n-2=27k+1\Rightarrow 7n=27k+3$. Шукаємо найменше натуральне розв'язання. Спробуємо $k=0\Rightarrow n=3/7$ (не ціле). $k=1\Rightarrow 7n=30$. $k=2\Rightarrow 7n=57$. $k=3\Rightarrow 7n=84\Rightarrow n=12$. Перевірка: $a_{12}=7\cdot 12-2=82$. $82=27\cdot 3+1$.