Скільки додатних членів містить послідовність, задана формулою: а) an=−3n+374; б) an=−n2+70n+800.
Розв’язання
Для пункту а): −3n+374>0⇒−3n>−374⇒n<3374=12432. Оскільки n — натуральне число, то n∈{1,2,…,124}. Кількість таких членів дорівнює 124.
Для пункту б): Розв'яжемо рівняння −n2+70n+800=0: Дискримінант D=702−4⋅(−1)⋅800=4900+3200=8100. D=90. Корені: n1=−2−70−90=−2−160=80; n2=−2−70+90=−220=−10. Оскільки коефіцієнт при n2 від'ємний, тричлен додатний між коренями: −10<n<80. Натуральні значення n: {1,2,…,79}. Кількість таких членів дорівнює 79.
Скільки додатних членів містить послідовність, задана формулою: а) an=−3n+374; б) an=−n2+70n+800.
Що треба знати
Додатним є член, якщо an>0. Потрібно розв'язати нерівність відносно n, щоб знайти кількість натуральних значень, що задовольняють цю умову. Для квадратного тричлена потрібно знайти корені відповідної рівності і визначити проміжок між ними.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
а) Розв'яжи нерівність −3n+374>0. б) Знайди корені рівняння −n2+70n+800=0, а потім визнач, для яких n значень тричлен додатний.
Розв’язання крок за кроком
Для пункту а): −3n+374>0⇒−3n>−374⇒n<3374=12432. Оскільки n — натуральне число, то n∈{1,2,…,124}. Кількість таких членів дорівнює 124.
Для пункту б): Розв'яжемо рівняння −n2+70n+800=0: Дискримінант D=702−4⋅(−1)⋅800=4900+3200=8100. D=90. Корені: n1=−2−70−90=−2−160=80; n2=−2−70+90=−220=−10. Оскільки коефіцієнт при n2 від'ємний, тричлен додатний між коренями: −10<n<80. Натуральні значення n: {1,2,…,79}. Кількість таких членів дорівнює 79.
