Завдання 748, § 14. Розв’язування задач складанням систем — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 748

Знаходження сторін прямокутного трикутника

Сума трьох сторін прямокутного трикутника дорівнює $156$ м, площа — $1014 м^{2}$ . Знайти довжини його катетів та гіпотенузи.

Розв’язання

З умови площі маємо $ab = 2028$ . З умови периметра $c = 156 - (a + b)$ .
Підставимо $c$ у теорему Піфагора: $a^{2} + b^{2} = (156 - (a + b))^{2}$ . Розкриємо дужки та скоротимо $a^{2} + b^{2}$ : отримуємо $(a + b)^{2} = 30 \cdot 156 - 2 ab$ (або аналогічно через розкладання квадрата суми).
Краще: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Підставимо $c = 156 - (a + b)$ : $(156 - (a + b))^{2} = a^{2} + b^{2}$ .
Розкриємо дужки: $15 6^{2} - 312 (a + b) + (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ .
Оскільки $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab$ , то $15 6^{2} - 312 (a + b) + 2 ab = 0$ .
Підставимо $ab = 2028$ : $24336 - 312 (a + b) + 4056 = 0 \Rightarrow 312 (a + b) = 28392 \Rightarrow a + b = 91$ .
Знайдемо $c$ : $c = 156 - 91 = 65$ .
Тепер знайдемо $a$ і $b$ як корені квадратного рівняння: $t^{2} - (a + b) t + ab = 0 \Rightarrow t^{2} - 91 t + 2028 = 0$ .
Дискримінант $D = 9 1^{2} - 4 \cdot 2028 = 8281 - 8112 = 169$ . Корені: $t_{1} = \frac{91 - 13}{2} = 39$ , $t_{2} = \frac{91 + 13}{2} = 52$ .

Відповідь:

Сторони трикутника дорівнюють $39 м$ , $52 м$ та $65 м$ .

Розбір зрозумілий?

§ 14. Розв’язування задач складанням систем Завдання 748 с. 149

Знаходження сторін прямокутного трикутника

Умова

Що треба знати

Нехай сторони трикутника $a$ , $b$ , $c$ , де $c$ — гіпотенуза. Маємо систему: $a + b + c = 156$ і $\frac{ab}{2} = 1014$ . Також виконується теорема Піфагора: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Виразіть $c$ через $a$ і $b$ з першого рівняння ( $c = 156 - a - b$ ) та підставте у теорему Піфагора. Скористайтеся також зв'язком між площею і добутком катетів.

Розв’язання крок за кроком

З умови площі маємо $ab = 2028$ . З умови периметра $c = 156 - (a + b)$ .
Підставимо $c$ у теорему Піфагора: $a^{2} + b^{2} = (156 - (a + b))^{2}$ . Розкриємо дужки та скоротимо $a^{2} + b^{2}$ : отримуємо $(a + b)^{2} = 30 \cdot 156 - 2 ab$ (або аналогічно через розкладання квадрата суми).
Краще: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Підставимо $c = 156 - (a + b)$ : $(156 - (a + b))^{2} = a^{2} + b^{2}$ .
Розкриємо дужки: $15 6^{2} - 312 (a + b) + (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ .
Оскільки $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab$ , то $15 6^{2} - 312 (a + b) + 2 ab = 0$ .
Підставимо $ab = 2028$ : $24336 - 312 (a + b) + 4056 = 0 \Rightarrow 312 (a + b) = 28392 \Rightarrow a + b = 91$ .
Знайдемо $c$ : $c = 156 - 91 = 65$ .
Тепер знайдемо $a$ і $b$ як корені квадратного рівняння: $t^{2} - (a + b) t + ab = 0 \Rightarrow t^{2} - 91 t + 2028 = 0$ .
Дискримінант $D = 9 1^{2} - 4 \cdot 2028 = 8281 - 8112 = 169$ . Корені: $t_{1} = \frac{91 - 13}{2} = 39$ , $t_{2} = \frac{91 + 13}{2} = 52$ .

Відповідь:

Сторони трикутника дорівнюють $39 м$ , $52 м$ та $65 м$ .

Розбір зрозумілий?