Завдання 750, § 14. Розв’язування задач складанням систем — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 750

Побудова графіка функції та знаходження точок перетину

Побудувати графік функції $y = \frac{12}{x - 3}$ . Знайти координати точок перетину цього графіка з графіками рівнянь:
1) $3 y - x + 3 = 0$ ;
2) $y - 3 x + 9 = 0$ ;
3) $x^{2} - 6 x + y^{2} = 16$ .

Розв’язання

Розглянемо першу пряму: система ${y = \frac{12}{x - 3} 3 y - x + 3 = 0$ . Підставимо $y$ : $3 (\frac{12}{x - 3}) - x + 3 = 0 \Rightarrow \frac{36}{x - 3} = x - 3$ . Помножимо на $(x - 3)$ : $36 = (x - 3)^{2}$ . Корені: $x - 3 = 6$ або $x - 3 = - 6$ , тобто $x_{1} = 9, x_{2} = - 3$ . Знайдемо $y$ : для $x = 9 \Rightarrow y = 4$ ; для $x = - 3 \Rightarrow y = - 3$ . Точки: $(9; 4)$ і $(- 3; - 3)$ .
Розглянемо другу пряму: система ${y = \frac{12}{x - 3} y - 3 x + 9 = 0$ . Підставимо $y$ : $\frac{12}{x - 3} - 3 x + 9 = 0 \Rightarrow \frac{12}{x - 3} = 3 x - 9 = 3 (x - 3)$ . Помножимо на $(x - 3)$ : $12 = 3 (x - 3)^{2} \Rightarrow (x - 3)^{2} = 4$ . Корені: $x - 3 = 2$ або $x - 3 = - 2$ , тобто $x_{3} = 5, x_{4} = 1$ . Знайдемо $y$ : для $x = 5 \Rightarrow y = 6$ ; для $x = 1 \Rightarrow y = - 6$ . Точки: $(5; 6)$ і $(1; - 6)$ .
Розглянемо коло: система ${y = \frac{12}{x - 3} x^{2} - 6 x + y^{2} = 16$ . Перепишемо рівняння кола як $(x - 3)^{2} + y^{2} = 25$ . Підставимо $y$ : $(x - 3)^{2} + (\frac{12}{x - 3})^{2} = 25$ . Позначимо $t = x - 3$ , тоді $t^{2} + \frac{144}{t ^{2}} = 25$ . Помножимо на $t^{2}$ : $t^{4} - 25 t^{2} + 144 = 0$ . Нехай $z = t^{2}$ , $z^{2} - 25 z + 144 = 0$ . Дискримінант $D = 625 - 576 = 49$ . Корені $z_{1} = \frac{25 + 7}{2} = 16$ , $z_{2} = \frac{25 - 7}{2} = 9$ . Тоді $t^{2} = 16 \Rightarrow t = \pm 4$ (тобто $x - 3 = \pm 4 \Rightarrow x = 7, - 1$ ) і $t^{2} = 9 \Rightarrow t = \pm 3$ (тобто $x - 3 = \pm 3 \Rightarrow x = 6, 0$ ). Знайдемо $y$ : для $x = 7 \Rightarrow y = - 4$ ; для $x = - 1 \Rightarrow y = - 4$ ; для $x = 6 \Rightarrow y = 12$ ; для $x = 0 \Rightarrow y = - 12$ . Точки: $(7; - 4), (- 1; - 4), (6; 12), (0; - 12)$ .

Відповідь:

Точки перетину з прямою $3 y - x + 3 = 0$ : $(9; 4), (- 3; - 3)$ ; з прямою $y - 3 x + 9 = 0$ : $(5; 6), (1; - 6)$ ; з колом $x^{2} - 6 x + y^{2} = 16$ : $(7; - 4), (- 1; - 4), (6; 12), (0; - 12)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 14. Розв’язування задач складанням систем Завдання 750 с. 150

Побудова графіка функції та знаходження точок перетину

Умова

Що треба знати

Точка перетину двох графіків є спільним розв'язком їхніх рівнянь. Для знаходження таких точок потрібно скласти систему рівнянь, де одне з рівнянь — функція $y = \frac{12}{x - 3}$ , а інше — задане рівняння прямої або кола.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Замініть $y$ у рівняннях прямої на вираз $\frac{12}{x - 3}$ і розв'яжіть отримані раціональні рівняння відносно $x$ . Для третього рівняння підставте вираз для $y$ у рівняння кола.

Розв’язання крок за кроком

Розглянемо першу пряму: система ${y = \frac{12}{x - 3} 3 y - x + 3 = 0$ . Підставимо $y$ : $3 (\frac{12}{x - 3}) - x + 3 = 0 \Rightarrow \frac{36}{x - 3} = x - 3$ . Помножимо на $(x - 3)$ : $36 = (x - 3)^{2}$ . Корені: $x - 3 = 6$ або $x - 3 = - 6$ , тобто $x_{1} = 9, x_{2} = - 3$ . Знайдемо $y$ : для $x = 9 \Rightarrow y = 4$ ; для $x = - 3 \Rightarrow y = - 3$ . Точки: $(9; 4)$ і $(- 3; - 3)$ .
Розглянемо другу пряму: система ${y = \frac{12}{x - 3} y - 3 x + 9 = 0$ . Підставимо $y$ : $\frac{12}{x - 3} - 3 x + 9 = 0 \Rightarrow \frac{12}{x - 3} = 3 x - 9 = 3 (x - 3)$ . Помножимо на $(x - 3)$ : $12 = 3 (x - 3)^{2} \Rightarrow (x - 3)^{2} = 4$ . Корені: $x - 3 = 2$ або $x - 3 = - 2$ , тобто $x_{3} = 5, x_{4} = 1$ . Знайдемо $y$ : для $x = 5 \Rightarrow y = 6$ ; для $x = 1 \Rightarrow y = - 6$ . Точки: $(5; 6)$ і $(1; - 6)$ .
Розглянемо коло: система ${y = \frac{12}{x - 3} x^{2} - 6 x + y^{2} = 16$ . Перепишемо рівняння кола як $(x - 3)^{2} + y^{2} = 25$ . Підставимо $y$ : $(x - 3)^{2} + (\frac{12}{x - 3})^{2} = 25$ . Позначимо $t = x - 3$ , тоді $t^{2} + \frac{144}{t ^{2}} = 25$ . Помножимо на $t^{2}$ : $t^{4} - 25 t^{2} + 144 = 0$ . Нехай $z = t^{2}$ , $z^{2} - 25 z + 144 = 0$ . Дискримінант $D = 625 - 576 = 49$ . Корені $z_{1} = \frac{25 + 7}{2} = 16$ , $z_{2} = \frac{25 - 7}{2} = 9$ . Тоді $t^{2} = 16 \Rightarrow t = \pm 4$ (тобто $x - 3 = \pm 4 \Rightarrow x = 7, - 1$ ) і $t^{2} = 9 \Rightarrow t = \pm 3$ (тобто $x - 3 = \pm 3 \Rightarrow x = 6, 0$ ). Знайдемо $y$ : для $x = 7 \Rightarrow y = - 4$ ; для $x = - 1 \Rightarrow y = - 4$ ; для $x = 6 \Rightarrow y = 12$ ; для $x = 0 \Rightarrow y = - 12$ . Точки: $(7; - 4), (- 1; - 4), (6; 12), (0; - 12)$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?