Завдання 742, § 14. Розв’язування задач складанням систем — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 742

Рух велосипедиста з підйому і спуску

Шлях від A до B (36 км) складається з підйому та спуску. Велосипедист їхав зі швидкістю $v_{спуск}$ на спуску, яка на 6 км/год більша за швидкість на підйому ( $v_{підйом}$ ). Час у дорозі (A $\to$ B) — 2 год 40 хв, а повернення (B $\to$ A) — на 20 хв швидше.

Розв’язання

Позначимо швидкість на підйому через $x$ км/год, тоді на спуску — $(x + 6)$ км/год. Нехай довжина підйому дорівнює $y$ км, а спуску — $(36 - y)$ км.
Переведемо часи в години: туди — $\frac{8}{3}$ год (2 г 40 хв), назад — $\frac{7}{3}$ год (2 г 10 хв).
Запишемо рівняння для часу руху від A до B: $\frac{y}{x} + \frac{36 - y}{x + 6} = \frac{8}{3}$ .
Запишемо рівняння для часу руху від B до A (шлях той самий, але складові змінюються місцями): $\frac{y}{x + 6} + \frac{36 - y}{x} = \frac{7}{3}$ .
Віднімемо одне рівняння від іншого: $(\frac{y}{x} - \frac{y}{x + 6}) + (\frac{36 - y}{x + 6} - \frac{36 - y}{x}) = \frac{8}{3} - \frac{7}{3}$ . Після спрощень отримаємо $\frac{6 y}{x ( x + 6 )} - \frac{6 ( 36 - y )}{x ( x + 6 )} = \frac{1}{3}$ , звідки знайдемо $y = 20$ км.
Підставимо $y = 20$ у перше рівняння: $\frac{20}{x} + \frac{16}{x + 6} = \frac{8}{3}$ . Розв'яжемо квадратне рівняння відносно $x$ : отримаємо $x = 4$ км/год.

Відповідь:

Швидкість на підйому — 4 км/год, на спуску — 10 км/год, довжина підйому — 20 км.

Розбір зрозумілий?

§ 14. Розв’язування задач складанням систем Завдання 742 с. 148

Рух велосипедиста з підйому і спуску

Умова

Що треба знати

Час руху дорівнює відстані, поділеній на швидкість ( $t = \frac{S}{v}$ ). Складання системи рівнянь за часом та зв'язком між швидкостями дозволить знайти невідомі величини.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Позначте $x$ — швидкість на підйому, тоді $x + 6$ — швидкість на спуску. Визначте довжину підйому через невідому змінну (наприклад, $y$ ) і виразіть часи для шляху туди та назад як суму частин, поділених на ці швидкості.

Розв’язання крок за кроком

Позначимо швидкість на підйому через $x$ км/год, тоді на спуску — $(x + 6)$ км/год. Нехай довжина підйому дорівнює $y$ км, а спуску — $(36 - y)$ км.
Переведемо часи в години: туди — $\frac{8}{3}$ год (2 г 40 хв), назад — $\frac{7}{3}$ год (2 г 10 хв).
Запишемо рівняння для часу руху від A до B: $\frac{y}{x} + \frac{36 - y}{x + 6} = \frac{8}{3}$ .
Запишемо рівняння для часу руху від B до A (шлях той самий, але складові змінюються місцями): $\frac{y}{x + 6} + \frac{36 - y}{x} = \frac{7}{3}$ .
Віднімемо одне рівняння від іншого: $(\frac{y}{x} - \frac{y}{x + 6}) + (\frac{36 - y}{x + 6} - \frac{36 - y}{x}) = \frac{8}{3} - \frac{7}{3}$ . Після спрощень отримаємо $\frac{6 y}{x ( x + 6 )} - \frac{6 ( 36 - y )}{x ( x + 6 )} = \frac{1}{3}$ , звідки знайдемо $y = 20$ км.
Підставимо $y = 20$ у перше рівняння: $\frac{20}{x} + \frac{16}{x + 6} = \frac{8}{3}$ . Розв'яжемо квадратне рівняння відносно $x$ : отримаємо $x = 4$ км/год.

Відповідь:

Швидкість на підйому — 4 км/год, на спуску — 10 км/год, довжина підйому — 20 км.

Розбір зрозумілий?