Завдання 741, § 14. Розв’язування задач складанням систем

Розв’язання крок за кроком

1. Познач швидкість мотоцикліста до міста як $v$ (км/год). Відстань від села до міста $S=5v$.

2. На зворотному шляху перші 36 км проїхано зі швидкістю $v$, час: $\frac{36}{v}$.

3. Решта шляху дорівнює $5v-36$ км, проїхана зі швидкістю $v+3$, час: $\frac{5v-36}{v+3}$.

4. Загальний час зворотного шляху на 15 хв ($\frac{1}{4}$ год) менший за час туди, тобто дорівнює $5-\frac{1}{4}=\frac{19}{4}$ год.
   Складемо рівняння: $\frac{36}{v}+\frac{5v-36}{v+3}=5-\frac{1}{4}=\frac{19}{4}$.

5. Помножимо на $4v(v+3)$:
   $4(36)(v+3)+4v(5v-36)=19v(v+3)$
   $144(v+3)+20v^2-144v=19v^2+57v$
   $144v+432+20v^2-144v=19v^2+57v$
   $432+20v^2=19v^2+57v$
   $v^2-57v+432=0$

6. Знайдемо дискримінант: $D=(-57{)}^2-4\cdot 1\cdot 432=3249-1728=1521$.
   $\sqrt{1521}=39$.
   Корені: $v_1=\frac{57+39}{2}=\frac{96}{2}=48$, $v_2=\frac{57-39}{2}=\frac{18}{2}=9$.
   Перевірка: Якщо $v=9$, то $S=45$ км. Перша частина зворотного шляху 36 км, що менше за $S$, отже підходить.
   Якщо $v=48$, то $S=240$ км. Також підходить.
   Однак, швидкість 9 км/год для мотоцикліста є дуже малою (швидкість пішохода), тому фізично правдоподібним є $v=48$. Але математично обидва корені правильні. Зазвичай у таких задачах беруть більший корінь, якщо не вказано інше. Перевіримо умову "решту (більшу частину шляху)".
   При $v=9$, $S=45$, решта шляху $45-36=9$ км. 9 < 36, отже перша частина більша. Умова не виконується.
   При $v=48$, $S=240$, решта шляху $240-36=204$ км. 204 > 36, умова виконується.