Завдання 740, § 14. Розв’язування задач складанням систем — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 740

Затримка поїзда

Поїзд мав проїхати шлях від станції A до станції B за 4 год. На відстані 150 км від A його затримали на 20 хв. Решту шляху він проїхав зі швидкістю, більшою на 15 км/год, щоб прибути вчасно. Знайти відстань від A до B.

Розв’язання

Позначимо початкову швидкість поїзда як $v$ (км/год), а відстань від A до B як $S$ (км).
Час руху першого відрізка (150 км) дорівнює $\frac{150}{v}$ . Час руху другого відрізка ( $S - 150$ км) дорівнює $\frac{S - 150}{v + 15}$ .
Загальний час руху складається з часу першого відрізка, часу затримки (20 хв = $\frac{1}{3}$ год) та часу другого відрізка. Оскільки поїзд прибув за розкладом (за 4 год), маємо рівняння:
$\frac{150}{v} + \frac{1}{3} + \frac{S - 150}{v + 15} = 4$
Також відстань $S$ можна виразити через початкову швидкість і планований час: $S = v \cdot 4$ . Підставимо це в рівняння або розглянемо, що якщо б не було затримки, поїзд пройшов би 150 км за $\frac{150}{v}$ , а решту ( $S - 150$ ) за $\frac{S - 150}{v}$ . Але краще скористатися тим, що загальний час без затримки був би $4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$ год.
Перепишемо рівняння часу: $\frac{150}{v} + \frac{S - 150}{v + 15} = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$ .
З умови $S = 4 v$ , підставимо у вираз для часу другого відрізка: $\frac{4 v - 150}{v + 15}$ .
Отримуємо рівняння: $\frac{150}{v} + \frac{4 v - 150}{v + 15} = \frac{11}{3}$ .
Помножимо на $3 v (v + 15)$ , щоб позбутися знаменників:
$3 (150) (v + 15) + 3 v (4 v - 150) = 11 v (v + 15)$
$450 (v + 15) + 12 v^{2} - 450 v = 11 v^{2} + 165 v$
$450 v + 6750 + 12 v^{2} - 450 v = 11 v^{2} + 165 v$
$6750 + 12 v^{2} = 11 v^{2} + 165 v$
$v^{2} - 165 v + 6750 = 0$
Розв'яжемо квадратне рівняння: $D = (- 165)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6750 = 27225 - 27000 = 225$ .
$D = 15$ .
Корені: $v_{1} = \frac{165 + 15}{2} = \frac{180}{2} = 90$ , $v_{2} = \frac{165 - 15}{2} = \frac{150}{2} = 75$ .
Якщо $v = 90$ , то $S = 360$ км. Перевірка: $\frac{150}{90} + \frac{1}{3} + \frac{210}{105} = \frac{5}{3} + \frac{1}{3} + 2 = 4$ . Підходить.
Якщо $v = 75$ , то $S = 300$ км. Перевірка: $\frac{150}{75} + \frac{1}{3} + \frac{150}{90} = 2 + \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = 4$ . Підходить.
Однак, зазвичай у таких задачах швидкість є цілим числом, і обидва варіанти математично коректні, але фізично можливі. Проте, часто в підручниках беруть менший корінь або перевіряють умову "більшу частину шляху". У обох випадках решта шляху більша за першу частину (210 км проти 150 км при $v = 90$ ; 150 км проти 150 км? Ні, при $v = 75$ , $S = 300$ , перша частина 150, друга 150. Умова каже "решту (більшу частину шляху)", отже, другий варіант ( $v = 75$ ) не підходить, бо ділянки рівні.
Тому беремо $v = 90$ км/год.

Відповідь:

Відстань від A до B дорівнює 360 км.

Розбір зрозумілий?