Завдання 733, § 14. Розв’язування задач складанням систем — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 733

Швидкість катера та течії

Катер за $9 год$ пройшов $100 км$ за течією і $64 км$ проти течії. За той самий час ( $9 год$ ) він пройшов $80 км$ за течією і $80 км$ проти течії. Знайти власну швидкість катера та швидкість течії.

Розв’язання

Позначимо власну швидкість катера через $v$ , швидкість течії — через $u$ . Швидкості руху: за течією $v + u$ , проти течії $v - u$ .
Складемо рівняння для першого випадку (сума часів дорівнює $9 год$ ): $\frac{100}{v + u} + \frac{64}{v - u} = 9$ .
Складемо рівняння для другого випадку: $\frac{80}{v + u} + \frac{80}{v - u} = 9$ .
Позначимо $x = v + u$ і $y = v - u$ . Система виглядає так: $\frac{100}{x} + \frac{64}{y} = 9$ та $\frac{80}{x} + \frac{80}{y} = 9$ .
Розв'яжемо систему відносно $x$ і $y$ . З другого рівняння: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{80}$ . Помножимо перше рівняння на $0, 8$ : $\frac{80}{x} + \frac{51 , 2}{y} = 7, 2$ . Це складніше.
Спробуємо підібрати розв'язок або розв'язати через дискримінант. З другого рівняння: $\frac{80}{x} + \frac{80}{y} = 9 \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{80}$ .
Помножимо перше рівняння на $0, 8$ : $\frac{80}{x} + \frac{51 , 2}{y} = 7, 2$ . Віднімемо друге рівняння (помножене на $1$ ): $(\frac{80}{x} - \frac{80}{x}) + (\frac{51 , 2}{y} - \frac{80}{y}) = 7, 2 - 9$ .
Отримаємо: $\frac{- 28 , 8}{y} = - 1, 8 \Rightarrow y = \frac{28 , 8}{1 , 8} = 16$ . Тобто $v - u = 16 км / год$ .
Підставимо $y = 16$ у друге рівняння: $\frac{80}{x} + \frac{80}{16} = 9 \Rightarrow \frac{80}{x} + 5 = 9 \Rightarrow \frac{80}{x} = 4 \Rightarrow x = 20$ . Тобто $v + u = 20 км / год$ .
Складемо систему: $v - u = 16$ , $v + u = 20$ . Додамо рівняння: $2 v = 36 \Rightarrow v = 18$ . Віднімемо: $- 2 u = - 4 \Rightarrow u = 2$ .

Відповідь:

Власна швидкість катера — $18 км / год$ , швидкість течії — $2 км / год$ .

Розбір зрозумілий?

§ 14. Розв’язування задач складанням систем Завдання 733 с. 147

Швидкість катера та течії

Умова

Що треба знати

Позначимо власну швидкість катера через $v$ , а швидкість течії — через $u$ . Швидкість за течією дорівнює $v + u$ , проти течії — $v - u$ . Час руху дорівнює відстані, поділеній на швидкість ( $t = \frac{S}{v _{еф}}$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Склади вирази для часу, витраченого на кожну ділянку шляху в обох випадках, і прирівняй суми часів до $9 год$ .

Розв’язання крок за кроком

Позначимо власну швидкість катера через $v$ , швидкість течії — через $u$ . Швидкості руху: за течією $v + u$ , проти течії $v - u$ .
Складемо рівняння для першого випадку (сума часів дорівнює $9 год$ ): $\frac{100}{v + u} + \frac{64}{v - u} = 9$ .
Складемо рівняння для другого випадку: $\frac{80}{v + u} + \frac{80}{v - u} = 9$ .
Позначимо $x = v + u$ і $y = v - u$ . Система виглядає так: $\frac{100}{x} + \frac{64}{y} = 9$ та $\frac{80}{x} + \frac{80}{y} = 9$ .
Розв'яжемо систему відносно $x$ і $y$ . З другого рівняння: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{80}$ . Помножимо перше рівняння на $0, 8$ : $\frac{80}{x} + \frac{51 , 2}{y} = 7, 2$ . Це складніше.
Спробуємо підібрати розв'язок або розв'язати через дискримінант. З другого рівняння: $\frac{80}{x} + \frac{80}{y} = 9 \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{80}$ .
Помножимо перше рівняння на $0, 8$ : $\frac{80}{x} + \frac{51 , 2}{y} = 7, 2$ . Віднімемо друге рівняння (помножене на $1$ ): $(\frac{80}{x} - \frac{80}{x}) + (\frac{51 , 2}{y} - \frac{80}{y}) = 7, 2 - 9$ .
Отримаємо: $\frac{- 28 , 8}{y} = - 1, 8 \Rightarrow y = \frac{28 , 8}{1 , 8} = 16$ . Тобто $v - u = 16 км / год$ .
Підставимо $y = 16$ у друге рівняння: $\frac{80}{x} + \frac{80}{16} = 9 \Rightarrow \frac{80}{x} + 5 = 9 \Rightarrow \frac{80}{x} = 4 \Rightarrow x = 20$ . Тобто $v + u = 20 км / год$ .
Складемо систему: $v - u = 16$ , $v + u = 20$ . Додамо рівняння: $2 v = 36 \Rightarrow v = 18$ . Віднімемо: $- 2 u = - 4 \Rightarrow u = 2$ .

Відповідь:

Власна швидкість катера — $18 км / год$ , швидкість течії — $2 км / год$ .

Розбір зрозумілий?