Завдання 732, § 14. Розв’язування задач складанням систем — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 732

Швидкості велосипедистів

Відстань між містами — $90 км$ . Перший прибув на $1 год$ раніше, ніж другий. За $3 год$ перший проїжджає на $24 км$ більше, ніж другий за $2 год$ . Знайти швидкість кожного велосипедиста.

Розв’язання

Позначимо швидкість першого велосипедиста через $v_{1}$ , другого — через $v_{2}$ . Час їхнього руху: $t_{1} = \frac{90}{v _{1}}$ , $t_{2} = \frac{90}{v _{2}}$ .
Врахуємо різницю часу прибуття: $t_{2} - t_{1} = 1$ , тобто $\frac{90}{v _{2}} - \frac{90}{v _{1}} = 1$ .
Розглянемо умову про шляхи за певний час: $3 v_{1} - 2 v_{2} = 24$ .
З другого рівняння виразимо $v_{1}$ : $3 v_{1} = 2 v_{2} + 24 \Rightarrow v_{1} = \frac{2}{3} v_{2} + 8$ .
Підставимо цей вираз у перше рівняння: $\frac{90}{v _{2}} - \frac{90}{\frac{2}{3} v _{2} + 8} = 1$ .
Спростимо дріб у другому доданку: $\frac{90}{\frac{2 v _{2} + 24}{3}} = \frac{270}{2 v _{2} + 24}$ . Рівняння стає $\frac{90}{v _{2}} - \frac{270}{2 v _{2} + 24} = 1$ .
Помножимо на спільний знаменник $v_{2} (2 v_{2} + 24)$ : $90 (2 v_{2} + 24) - 270 v_{2} = v_{2} (2 v_{2} + 24)$ .
Розкриємо дужки: $180 v_{2} + 2160 - 270 v_{2} = 2 v_{2}^{2} + 24 v_{2}$ . Спростимо: $- 90 v_{2} + 2160 = 2 v_{2}^{2} + 24 v_{2}$ .
Перенесемо все в одну сторону: $2 v_{2}^{2} + 114 v_{2} - 2160 = 0$ . Ділимо на $2$ : $v_{2}^{2} + 57 v_{2} - 1080 = 0$ .
Знаходимо дискримінант: $D = 5 7^{2} - 4 \cdot (- 1080) = 3249 + 4320 = 7569$ . $7569 = 87$ .
Корені: $v_{2} = \frac{- 57 \pm 87}{2}$ . Від'ємне значення відкидаємо, $v_{2} = \frac{30}{2} = 15 км / год$ .
Знаходимо $v_{1}$ : $v_{1} = \frac{2}{3} \cdot 15 + 8 = 10 + 8 = 18 км / год$ . Перевірка: $\frac{90}{15} - \frac{90}{18} = 6 - 5 = 1$ (правильно).

Відповідь:

Швидкість першого велосипедиста — $18 км / год$ , другого — $15 км / год$ .

Розбір зрозумілий?

§ 14. Розв’язування задач складанням систем Завдання 732 с. 147

Швидкості велосипедистів

Умова

Що треба знати

Позначимо швидкості як $v_{1}$ і $v_{2}$ . Час руху дорівнює відстані, поділеній на швидкість ( $t = \frac{S}{v}$ ). Різниця часу прибуття дозволяє скласти рівняння для різниці швидкостей.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Склади вирази для часу руху кожного велосипедиста через їхні швидкості та відстань $90 км$ , а потім прирівняй різницю цих часів до $1 години$ .

Розв’язання крок за кроком

Позначимо швидкість першого велосипедиста через $v_{1}$ , другого — через $v_{2}$ . Час їхнього руху: $t_{1} = \frac{90}{v _{1}}$ , $t_{2} = \frac{90}{v _{2}}$ .
Врахуємо різницю часу прибуття: $t_{2} - t_{1} = 1$ , тобто $\frac{90}{v _{2}} - \frac{90}{v _{1}} = 1$ .
Розглянемо умову про шляхи за певний час: $3 v_{1} - 2 v_{2} = 24$ .
З другого рівняння виразимо $v_{1}$ : $3 v_{1} = 2 v_{2} + 24 \Rightarrow v_{1} = \frac{2}{3} v_{2} + 8$ .
Підставимо цей вираз у перше рівняння: $\frac{90}{v _{2}} - \frac{90}{\frac{2}{3} v _{2} + 8} = 1$ .
Спростимо дріб у другому доданку: $\frac{90}{\frac{2 v _{2} + 24}{3}} = \frac{270}{2 v _{2} + 24}$ . Рівняння стає $\frac{90}{v _{2}} - \frac{270}{2 v _{2} + 24} = 1$ .
Помножимо на спільний знаменник $v_{2} (2 v_{2} + 24)$ : $90 (2 v_{2} + 24) - 270 v_{2} = v_{2} (2 v_{2} + 24)$ .
Розкриємо дужки: $180 v_{2} + 2160 - 270 v_{2} = 2 v_{2}^{2} + 24 v_{2}$ . Спростимо: $- 90 v_{2} + 2160 = 2 v_{2}^{2} + 24 v_{2}$ .
Перенесемо все в одну сторону: $2 v_{2}^{2} + 114 v_{2} - 2160 = 0$ . Ділимо на $2$ : $v_{2}^{2} + 57 v_{2} - 1080 = 0$ .
Знаходимо дискримінант: $D = 5 7^{2} - 4 \cdot (- 1080) = 3249 + 4320 = 7569$ . $7569 = 87$ .
Корені: $v_{2} = \frac{- 57 \pm 87}{2}$ . Від'ємне значення відкидаємо, $v_{2} = \frac{30}{2} = 15 км / год$ .
Знаходимо $v_{1}$ : $v_{1} = \frac{2}{3} \cdot 15 + 8 = 10 + 8 = 18 км / год$ . Перевірка: $\frac{90}{15} - \frac{90}{18} = 6 - 5 = 1$ (правильно).

Відповідь:

Швидкість першого велосипедиста — $18 км / год$ , другого — $15 км / год$ .

Розбір зрозумілий?