Завдання 731, § 14. Розв’язування задач складанням систем — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 731

Швидкості автомобілів

Відстань між містами — $360 км$ . Два автомобілі виїхали одночасно. Через $2 год$ перший проїхав на $20 км$ більше, ніж другий. Перший прибув на $30 хв$ раніше, ніж другий. Знайти швидкість кожного автомобіля.

Розв’язання

Запишемо рівняння для шляху кожного автомобіля за $2 год$ : $S_{1} = 2 v_{1}$ , $S_{2} = 2 v_{2}$ .
Складемо рівняння різниці шляхів: $2 v_{1} - 2 v_{2} = 20$ , звідси $v_{1} - v_{2} = 10$ (перший швидший на $10 км / год$ ).
Знайдемо час руху кожного автомобіля до кінця шляху: $t_{1} = \frac{360}{v _{1}}$ , $t_{2} = \frac{360}{v _{2}}$ .
Врахуємо різницю часу: $t_{2} - t_{1} = 30 хв = 0, 5 год$ . Отримаємо рівняння $\frac{360}{v _{2}} - \frac{360}{v _{1}} = 0, 5$ .
Замінимо $v_{1}$ на $(v_{2} + 10)$ у другому рівнянні і розв'яжемо систему відносно $v_{2}$ : $\frac{360}{v _{2}} - \frac{360}{v _{2} + 10} = 0, 5$ .
Розкриємо дужки: $360 (v_{2} + 10) - 360 v_{2} = 0, 5 v_{2} (v_{2} + 10)$ , що дає $3600 = 0, 5 v_{2}^{2} + 5 v_{2}$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння $v_{2}^{2} + 10 v_{2} - 7200 = 0$ : $D = 100 + 28800 = 28900$ , $D = 170$ .
Знаходимо корені: $v_{2} = \frac{- 10 \pm 170}{2}$ . Від'ємне значення відкидаємо, отже $v_{2} = 85 км / год$ . Тоді $v_{1} = 95 км / год$ .

Відповідь:

Швидкість першого автомобіля — $95 км / год$ , другого — $85 км / год$ .

Розбір зрозумілий?

§ 14. Розв’язування задач складанням систем Завдання 731 с. 147

Швидкості автомобілів

Умова

Що треба знати

Позначимо швидкості автомобілів через $v_{1}$ і $v_{2}$ . Відстань, яку проїхав кожен за час $t$ , дорівнює добутку швидкості на час ( $S = v \cdot t$ ). Різниця шляхів та різниця часу дозволять скласти систему рівнянь.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Склади вирази для шляху, який проїхав кожен автомобіль за $2 год$ , і прирівняй їх до загальної відстані, враховуючи різницю в $20 км$ .

Розв’язання крок за кроком

Запишемо рівняння для шляху кожного автомобіля за $2 год$ : $S_{1} = 2 v_{1}$ , $S_{2} = 2 v_{2}$ .
Складемо рівняння різниці шляхів: $2 v_{1} - 2 v_{2} = 20$ , звідси $v_{1} - v_{2} = 10$ (перший швидший на $10 км / год$ ).
Знайдемо час руху кожного автомобіля до кінця шляху: $t_{1} = \frac{360}{v _{1}}$ , $t_{2} = \frac{360}{v _{2}}$ .
Врахуємо різницю часу: $t_{2} - t_{1} = 30 хв = 0, 5 год$ . Отримаємо рівняння $\frac{360}{v _{2}} - \frac{360}{v _{1}} = 0, 5$ .
Замінимо $v_{1}$ на $(v_{2} + 10)$ у другому рівнянні і розв'яжемо систему відносно $v_{2}$ : $\frac{360}{v _{2}} - \frac{360}{v _{2} + 10} = 0, 5$ .
Розкриємо дужки: $360 (v_{2} + 10) - 360 v_{2} = 0, 5 v_{2} (v_{2} + 10)$ , що дає $3600 = 0, 5 v_{2}^{2} + 5 v_{2}$ .
Розв'язуємо квадратне рівняння $v_{2}^{2} + 10 v_{2} - 7200 = 0$ : $D = 100 + 28800 = 28900$ , $D = 170$ .
Знаходимо корені: $v_{2} = \frac{- 10 \pm 170}{2}$ . Від'ємне значення відкидаємо, отже $v_{2} = 85 км / год$ . Тоді $v_{1} = 95 км / год$ .

Відповідь:

Швидкість першого автомобіля — $95 км / год$ , другого — $85 км / год$ .

Розбір зрозумілий?