Завдання 724, § 14. Розв’язування задач складанням систем — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 724

Ребра паралелепіпеда за об'ємом, площею та одним ребром

Бака у формі прямокутного паралелепіпеда довжина одного з ребер (довжина) дорівнює $8 дм$ . Площа поверхні бака — $158 дм^{2}$ , а його об'єм — $120 дм^{3}$ . Знайти довжини двох інших ребер (ширину та висоту).

Розв’язання

Позначимо шукані ребра як $b$ (ширина) і $c$ (висота). Відомо, що одне ребро $a = 8 дм$ .
Запишемо формулу для об'єму: $V = a \cdot b \cdot c$ . Підставимо числа: $120 = 8 \cdot b \cdot c$ , звідси $b \cdot c = 15$ .
Запишемо формулу для площі поверхні: $S = 2 (ab + a c + b c)$ . Підставимо числа та вираз $b c = 15$ : $158 = 2 (8 b + 8 c + 15)$ .
Розв'яжемо рівняння відносно суми $b + c$ : ділимо на 2 ( $79 = 8 (b + c) + 15$ ), віднімаємо 15 ( $64 = 8 (b + c)$ ), ділимо на 8 ( $b + c = 8$ ).
Маємо систему: ${b \cdot c = 15 b + c = 8$ . Це квадратне рівняння $t^{2} - (b + c) t + b c = 0$ , тобто $t^{2} - 8 t + 15 = 0$ .
Знаходимо корені: $(t - 3) (t - 5) = 0$ , отже $b = 3, c = 5$ або навпаки.

Відповідь:

Довжини ребер бака дорівнюють $8 дм$ , $3 дм$ та $5 дм$ .

Розбір зрозумілий?

§ 14. Розв’язування задач складанням систем Завдання 724 с. 146

Ребра паралелепіпеда за об'ємом, площею та одним ребром

Умова

Що треба знати

Нехай $a, b, c$ — довжини ребер паралелепіпеда. Якщо відомо одне ребро (наприклад, $a = 8$ ), то можна знайти добуток двох інших ( $b c$ ) через об'єм ( $V = ab c$ ) та суму добутків парних ребер ( $ab + a c + b c$ ) через площу поверхні ( $S = 2 (ab + a c + b c)$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Познач шукані ребра за змінними $b$ і $c$ . Склади систему рівнянь, використовуючи формули для об'єму та площі поверхні, підставивши відому довжину $a = 8$ .

Розв’язання крок за кроком

Позначимо шукані ребра як $b$ (ширина) і $c$ (висота). Відомо, що одне ребро $a = 8 дм$ .
Запишемо формулу для об'єму: $V = a \cdot b \cdot c$ . Підставимо числа: $120 = 8 \cdot b \cdot c$ , звідси $b \cdot c = 15$ .
Запишемо формулу для площі поверхні: $S = 2 (ab + a c + b c)$ . Підставимо числа та вираз $b c = 15$ : $158 = 2 (8 b + 8 c + 15)$ .
Розв'яжемо рівняння відносно суми $b + c$ : ділимо на 2 ( $79 = 8 (b + c) + 15$ ), віднімаємо 15 ( $64 = 8 (b + c)$ ), ділимо на 8 ( $b + c = 8$ ).
Маємо систему: ${b \cdot c = 15 b + c = 8$ . Це квадратне рівняння $t^{2} - (b + c) t + b c = 0$ , тобто $t^{2} - 8 t + 15 = 0$ .
Знаходимо корені: $(t - 3) (t - 5) = 0$ , отже $b = 3, c = 5$ або навпаки.

Відповідь:

Довжини ребер бака дорівнюють $8 дм$ , $3 дм$ та $5 дм$ .

Розбір зрозумілий?