Завдання 721, § 14. Розв’язування задач складанням систем — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 721

Сторони прямокутника за діагоналлю та площею

Знайти сторони прямокутника, якщо його діагональ дорівнює $10 м$ , а площа — $48 м^{2}$ .

Розв’язання

Позначимо сторони прямокутника $x$ і $y$ . За умовою маємо систему: ${x y = 48 x^{2} + y^{2} = 10$ .
Піднесемо друге рівняння до квадрата: $x^{2} + y^{2} = 100$ . Використаємо тотожність $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y$ . Знайдемо суму сторін: $(x + y)^{2} = 100 + 2 \cdot 48 = 196$ , отже $x + y = 14$ (бо сума сторін додатна).
Розв'яжемо систему ${x + y = 14 x y = 48$ . Це квадратне рівняння $t^{2} - 14 t + 48 = 0$ . Дискримінант $D = 196 - 192 = 4$ , корені $t_{1} = 6, t_{2} = 8$ .

Відповідь:

Сторони прямокутника дорівнюють $6 м$ і $8 м$ .

Розбір зрозумілий?

§ 14. Розв’язування задач складанням систем Завдання 721 с. 146

Сторони прямокутника за діагоналлю та площею

Умова

Знайти сторони прямокутника, якщо його діагональ дорівнює $10 м$ , а площа — $48 м^{2}$ .

Що треба знати

Позначимо сторони прямокутника через $x$ і $y$ . Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін ( $x y = S$ ), а діагональ обчислюється за теоремою Піфагора ( $x^{2} + y^{2} = d$ ).

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Складіть систему рівнянь з двох невідомих, використовуючи дані про площу та діагональ. Замініть друге рівняння на квадратне, щоб позбутися кореня.

Розв’язання крок за кроком

Позначимо сторони прямокутника $x$ і $y$ . За умовою маємо систему: ${x y = 48 x^{2} + y^{2} = 10$ .
Піднесемо друге рівняння до квадрата: $x^{2} + y^{2} = 100$ . Використаємо тотожність $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y$ . Знайдемо суму сторін: $(x + y)^{2} = 100 + 2 \cdot 48 = 196$ , отже $x + y = 14$ (бо сума сторін додатна).
Розв'яжемо систему ${x + y = 14 x y = 48$ . Це квадратне рівняння $t^{2} - 14 t + 48 = 0$ . Дискримінант $D = 196 - 192 = 4$ , корені $t_{1} = 6, t_{2} = 8$ .

Відповідь:

Сторони прямокутника дорівнюють $6 м$ і $8 м$ .

Розбір зрозумілий?