Завдання 720, § 14. Розв’язування задач складанням систем

Розв’язання крок за кроком

1. а) 1. Позначимо катети $x$ і $y$. Маємо систему: $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=13^2\\ \frac{xy}{2}=30\end{array}$.

2. Спростимо друге рівняння: $xy=60$.

3. Знайдемо суму катетів через $(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy$: $(x+y{)}^2=169+120=289$.

4. Отже, $x+y=\sqrt{289}=17$. Складімо систему: $\{\begin{array}{l}x+y=17\\ xy=60\end{array}$.

5. Числа, сума яких $17$, а добуток $60$: це корені рівняння $t^2-17t+60=0$. Корені: $3$ і $4$.
   б) 1. Позначимо катети $x$ і $y$. Маємо систему: $\{\begin{array}{l}x+y+c=30\\ x^2+y^2=c^2\end{array}$.

6. З умови про суму катетів маємо $x+y=17$. Тоді з першого рівняння $c=30-17=13$.

7. Підставимо $c=13$ у друге рівняння: $x^2+y^2=169$.

8. Знайдемо добуток катетів через $(x+y{)}^2$: $x^2+y^2+2xy=289\Rightarrow 169+2xy=289\Rightarrow 2xy=120\Rightarrow xy=60$.

9. Складімо систему: $\{\begin{array}{l}x+y=17\\ xy=60\end{array}$. Це та сама система, що й у пункті а).