Завдання 719, § 14. Розв’язування задач складанням систем — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 719

Знаходження двох чисел за їх сумою/різницею та квадратів

а) різниця чисел — $2$ , різниця квадратів — $88$ ; б) півсума чисел — $9, 5$ , сума квадратів — $185$ .

Розв’язання

а) 1. Складемо систему: ${x - y = 2 x^{2} - y^{2} = 88$ .
Розкладемо друге рівняння на множники: $(x - y) (x + y) = 88$ .
Підставимо $x - y = 2$ : $2 (x + y) = 88 \Rightarrow x + y = 44$ .
Складімо нову систему: ${x - y = 2 x + y = 44$ . Додамо рівняння: $2 x = 46 \Rightarrow x = 23$ . Знайдемо $y$ : $y = 44 - 23 = 21$ .
б) 1. Складемо систему: ${\frac{x + y}{2} = 9, 5 x^{2} + y^{2} = 185$ .
Помножимо перше рівняння на 2: $x + y = 19$ , звідси $y = 19 - x$ .
Підставимо у друге рівняння: $x^{2} + (19 - x)^{2} = 185$ .
Розкриємо дужки: $x^{2} + 361 - 38 x + x^{2} = 185 \Rightarrow 2 x^{2} - 38 x + 176 = 0$ .
Поділимо на 2: $x^{2} - 19 x + 88 = 0$ . Корені: $(x - 8) (x - 11) = 0$ , отже $x_{1} = 8, x_{2} = 11$ .
Знайдемо $y$ : якщо $x = 8$ , то $y = 11$ ; якщо $x = 11$ , то $y = 8$ .

Відповідь:

а) числа $23$ і $21$ ; б) числа $8$ і $11$ .

Розбір зрозумілий?

§ 14. Розв’язування задач складанням систем Завдання 719 с. 146

Знаходження двох чисел за їх сумою/різницею та квадратів

Умова

а) різниця чисел — $2$ , різниця квадратів — $88$ ; б) півсума чисел — $9, 5$ , сума квадратів — $185$ .

Що треба знати

Позначимо числа $x$ і $y$ . Використовуємо властивість різниці квадратів: $x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$ . Також використовуємо звичайні формули для суми та різниці квадратів.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для пункту а) скористайтеся формулою розкладання на множники $(x - y) (x + y)$ . Для пункту б) виразіть $y$ через $x$ з першого рівняння та підставте у друге.

Розв’язання крок за кроком

а) 1. Складемо систему: ${x - y = 2 x^{2} - y^{2} = 88$ .
Розкладемо друге рівняння на множники: $(x - y) (x + y) = 88$ .
Підставимо $x - y = 2$ : $2 (x + y) = 88 \Rightarrow x + y = 44$ .
Складімо нову систему: ${x - y = 2 x + y = 44$ . Додамо рівняння: $2 x = 46 \Rightarrow x = 23$ . Знайдемо $y$ : $y = 44 - 23 = 21$ .
б) 1. Складемо систему: ${\frac{x + y}{2} = 9, 5 x^{2} + y^{2} = 185$ .
Помножимо перше рівняння на 2: $x + y = 19$ , звідси $y = 19 - x$ .
Підставимо у друге рівняння: $x^{2} + (19 - x)^{2} = 185$ .
Розкриємо дужки: $x^{2} + 361 - 38 x + x^{2} = 185 \Rightarrow 2 x^{2} - 38 x + 176 = 0$ .
Поділимо на 2: $x^{2} - 19 x + 88 = 0$ . Корені: $(x - 8) (x - 11) = 0$ , отже $x_{1} = 8, x_{2} = 11$ .
Знайдемо $y$ : якщо $x = 8$ , то $y = 11$ ; якщо $x = 11$ , то $y = 8$ .

Відповідь:

а) числа $23$ і $21$ ; б) числа $8$ і $11$ .

Розбір зрозумілий?