Завдання 718, § 14. Розв’язування задач складанням систем — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 718

Прямокутний трикутник за периметром і гіпотенузою

Периметр прямокутного трикутника дорівнює $90 см$ , а гіпотенуза — $41 см$ . Знайти катети.

Розв’язання

Позначимо катети $x$ і $y$ . За умовою маємо систему: ${x + y + 41 = 90 x^{2} + y^{2} = 4 1^{2}$ .
Спростимо перше рівняння: $x + y = 49$ , звідси $y = 49 - x$ .
Підставимо вираз для $y$ у друге рівняння: $x^{2} + (49 - x)^{2} = 1681$ .
Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: $x^{2} + 2401 - 98 x + x^{2} = 1681 \Rightarrow 2 x^{2} - 98 x + 720 = 0$ .
Розділимо рівняння на 2: $x^{2} - 49 x + 360 = 0$ . Знайдемо корені за формулою або способом групування: $(x - 9) (x - 40) = 0$ . Отже, $x_{1} = 9$ , $x_{2} = 40$ .
Знайдемо відповідні значення для $y$ : якщо $x = 9$ , то $y = 40$ ; якщо $x = 40$ , то $y = 9$ .

Відповідь:

Катети дорівнюють $9 см$ і $40 см$ .

Розбір зрозумілий?

§ 14. Розв’язування задач складанням систем Завдання 718 с. 146

Прямокутний трикутник за периметром і гіпотенузою

Умова

Периметр прямокутного трикутника дорівнює $90 см$ , а гіпотенуза — $41 см$ . Знайти катети.

Що треба знати

Позначимо катети буквами $x$ і $y$ , а гіпотенузу — $c$ . Периметр трикутника дорівнює сумі всіх його сторін ( $x + y + c = P$ ). Для прямокутного трикутника виконується теорема Піфагора: $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Складіть систему рівнянь, використовуючи дані про периметр та гіпотенузу. З першого рівняння виразіть один катет через інший і підставте у друге рівняння.

Розв’язання крок за кроком

Позначимо катети $x$ і $y$ . За умовою маємо систему: ${x + y + 41 = 90 x^{2} + y^{2} = 4 1^{2}$ .
Спростимо перше рівняння: $x + y = 49$ , звідси $y = 49 - x$ .
Підставимо вираз для $y$ у друге рівняння: $x^{2} + (49 - x)^{2} = 1681$ .
Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: $x^{2} + 2401 - 98 x + x^{2} = 1681 \Rightarrow 2 x^{2} - 98 x + 720 = 0$ .
Розділимо рівняння на 2: $x^{2} - 49 x + 360 = 0$ . Знайдемо корені за формулою або способом групування: $(x - 9) (x - 40) = 0$ . Отже, $x_{1} = 9$ , $x_{2} = 40$ .
Знайдемо відповідні значення для $y$ : якщо $x = 9$ , то $y = 40$ ; якщо $x = 40$ , то $y = 9$ .

Відповідь:

Катети дорівнюють $9 см$ і $40 см$ .

Розбір зрозумілий?