Завдання 716, § 14. Розв’язування задач складанням систем — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 716

Знаходження чисел за сумою та сумою квадратів

Знайти два числа, сума яких дорівнює $31$ , а сума їх квадратів — $625$ .

Розв’язання

Знайдемо добуток $x y$ : $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y \Rightarrow 3 1^{2} = 625 + 2 x y \Rightarrow 961 = 625 + 2 x y$ .
Обчислимо: $2 x y = 336 \Rightarrow x y = 168$ .
Складемо квадратне рівняння для знаходження чисел: $t^{2} - (x + y) t + x y = 0 \Rightarrow t^{2} - 31 t + 168 = 0$ .
Знайдемо корені: $D = (- 31)^{2} - 4 \cdot 168 = 961 - 672 = 289$ ; $D = 17$ . Корені: $t_{1} = \frac{31 + 17}{2} = 24$ , $t_{2} = \frac{31 - 17}{2} = 8$ .

Відповідь:

Числа дорівнюють $24$ і $8$ .

Розбір зрозумілий?

§ 14. Розв’язування задач складанням систем Завдання 716 с. 146

Знаходження чисел за сумою та сумою квадратів

Умова

Знайти два числа, сума яких дорівнює $31$ , а сума їх квадратів — $625$ .

Що треба знати

Використовуємо тотожність $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y$ . Знаючи суму та суму квадратів, знайдемо добуток чисел, а потім розв'яжемо систему рівнянь.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Обчисліть $x y$ з формули $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y$ , після чого запишіть і розв'яжіть систему ${x + y = 31 x y = ?$ .

Розв’язання крок за кроком

Знайдемо добуток $x y$ : $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y \Rightarrow 3 1^{2} = 625 + 2 x y \Rightarrow 961 = 625 + 2 x y$ .
Обчислимо: $2 x y = 336 \Rightarrow x y = 168$ .
Складемо квадратне рівняння для знаходження чисел: $t^{2} - (x + y) t + x y = 0 \Rightarrow t^{2} - 31 t + 168 = 0$ .
Знайдемо корені: $D = (- 31)^{2} - 4 \cdot 168 = 961 - 672 = 289$ ; $D = 17$ . Корені: $t_{1} = \frac{31 + 17}{2} = 24$ , $t_{2} = \frac{31 - 17}{2} = 8$ .

Відповідь:

Числа дорівнюють $24$ і $8$ .

Розбір зрозумілий?