Завдання 705, § 13. Системи рівнянь другого степеня — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 705

Параметр для двох розв'язків системи

Знайти найбільше ціле значення параметра $a$ , при якому система ${y - x = a x^{2} + y^{2} = 1$ має два розв'язки.

Розв’язання

Запишемо рівняння прямої у загальному вигляді: $x - y + a = 0$ .
Відстань $d$ від точки $(0, 0)$ до прямої дорівнює $\frac{∣0 - 0 + a ∣}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{∣ a ∣}{2}$ .
Для двох точок перетину необхідно $d < R$ , тобто $\frac{∣ a ∣}{2} < 1 \Rightarrow ∣ a ∣ < 2$ . Оскільки $2 \approx 1, 414$ , маємо $- 1, 414 < a < 1, 414$ .

Відповідь:

Найбільше ціле значення параметра $a$ , що задовольняє умову, — це $1$ .

Розбір зрозумілий?

§ 13. Системи рівнянь другого степеня Завдання 705 с. 140

Параметр для двох розв'язків системи

Умова

Знайти найбільше ціле значення параметра $a$ , при якому система ${y - x = a x^{2} + y^{2} = 1$ має два розв'язки.

Що треба знати

Перше рівняння описує пряму, а друге — коло радіуса $R = 1$ з центром у початку координат. Кількість перетинів прямої з колом залежить від відстані від центру кола до прямої.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Відстань від центру кола $(0, 0)$ до прямої $x - y + a = 0$ має бути меншою за радіус кола для двох точок перетину. Знайдіть цю відстань через параметр $a$ .

Розв’язання крок за кроком

Запишемо рівняння прямої у загальному вигляді: $x - y + a = 0$ .
Відстань $d$ від точки $(0, 0)$ до прямої дорівнює $\frac{∣0 - 0 + a ∣}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{∣ a ∣}{2}$ .
Для двох точок перетину необхідно $d < R$ , тобто $\frac{∣ a ∣}{2} < 1 \Rightarrow ∣ a ∣ < 2$ . Оскільки $2 \approx 1, 414$ , маємо $- 1, 414 < a < 1, 414$ .

Відповідь:

Найбільше ціле значення параметра $a$ , що задовольняє умову, — це $1$ .

Розбір зрозумілий?