Розглянемо підпункт а). Система {y=−∣x∣y=x2+a має розв'язки, якщо −∣x∣=x2+a.
Оскільки y≤0, парабола y=x2+a повинна мати точки з від'ємними ординатами, тобто a<0.
Розв'язуємо рівняння x2+∣x∣+a=0 заміною t=∣x∣ (t≥0): t2+t+a=0. Дискримінант D=1−4a.
Відповідь:
Кількість розв'язків залежить від a: якщо a>0, то розв'язків немає; якщо a=0, то один розв'язок (0,0); якщо −1<a<0, то два розв'язки; якщо a≤−1, то чотири розв'язки (для a=−1 — три).
Розбір зрозумілий?
§ 13. Системи рівнянь другого степеняЗавдання 704с. 140
Графік y=−∣x∣ — парабола, розкривається вниз. Графік y=a+∣x∣ — V-подібна лінія з вершиною (0,a). Круги x2+y2=R2 симетричні відносно початку координат.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Для пункту а) знайдіть точки перетину гілки параболи y=−∣x∣ з параболою y=x2+a. Врахуйте, що y у першому рівнянні завжди від'ємне або дорівнює нулю.
Розв’язання крок за кроком
Розглянемо підпункт а). Система {y=−∣x∣y=x2+a має розв'язки, якщо −∣x∣=x2+a.
Оскільки y≤0, парабола y=x2+a повинна мати точки з від'ємними ординатами, тобто a<0.
Розв'язуємо рівняння x2+∣x∣+a=0 заміною t=∣x∣ (t≥0): t2+t+a=0. Дискримінант D=1−4a.
Відповідь:
Кількість розв'язків залежить від a: якщо a>0, то розв'язків немає; якщо a=0, то один розв'язок (0,0); якщо −1<a<0, то два розв'язки; якщо a≤−1, то чотири розв'язки (для a=−1 — три).
